數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗積累的有效途徑

楊國華

數(shù)學(xué)教學(xué)既要讓學(xué)生掌握一定的知識技能，同時也要讓學(xué)生在特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中發(fā)展思維，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗有操作的經(jīng)驗、合作的經(jīng)驗、思維的經(jīng)驗等。而數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗只有在學(xué)生真正參與、經(jīng)歷知識形成的全過程中才能不斷積累。思維經(jīng)驗是一種感悟和體驗，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基石，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提升的源動力。筆者將以“圖形的分割”一課為例，來試談如何讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗。

一、在互動中探究路徑

在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往有這樣一種現(xiàn)象，學(xué)生會解題但不會思考，原因在于教師在平時的教學(xué)中不太注重讓學(xué)生經(jīng)歷思維的全過程。事實上，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生感受到問題解答的最初思考，即是如何想到這樣解答的，而不僅僅是獲得某個問題的答案。如此，學(xué)生就會逐漸形成愛思考的意識，遇到問題時就會從不同的方向探究問題解決的路徑。

師：這些平面圖形你認(rèn)識嗎？

（在此過程中教師交代了正方形也叫正四邊形，同時引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識了正六邊形與正八邊形。）

師：如果要畫一條直線把正六邊形分成面積相等的兩部分，可以怎樣畫？（師生交流后，教師依次用課件演示沿正六邊形的對角線畫的三條直線）像這樣的直線有多少條？

生：這樣的直線共有六條。（該生把自己畫的圖進(jìn)行了展示，如右圖：）

師：還有其他的畫法嗎？（學(xué)生均表示沒有了）咱先別忙著下結(jié)論好嗎？我們可以先選取一個熟悉的圖形來進(jìn)行研究，你準(zhǔn)備選擇哪一個圖形呢？

生：正八邊形。

生：正方形。因為我們最熟悉正方形，而且它像正六邊形、正八邊形一樣也是一個正多邊形。

【反思】開課簡明，沒有糾纏于“把正六邊形分成面積相等的兩部分的直線到底有多少條”，而是在師生互動中很快把思路引到研究正四邊形上來，讓學(xué)生感受到“研究問題”遇到困惑時要探究不同的路徑，思維不能受到局限。華羅庚教授曾說：“在解決數(shù)學(xué)難題時，我們要學(xué)會知難而‘退，要善于退，足夠的退，退到簡單而又不失關(guān)鍵的地方……”此處也正影射了“難的不會想，想簡單的”這一數(shù)學(xué)思想。

二、在定勢中尋求知識點突破

在生活中有很多事情看起來正確，但往往經(jīng)不起推敲，而這種現(xiàn)象的成因有時卻是錯誤思維定勢造成的。筆者曾做過隨機(jī)訪談，對象是本校教師，問他們“如果要用一條直線把正方形或正六邊形分成面積相等的兩部分，分別有幾種不同畫直線的方法”，被訪者幾乎無一例外地快速回答“分別有四條和六條”。這也就使得教師在執(zhí)教時，對學(xué)生這種可能的錯誤思維定勢應(yīng)該予以關(guān)注，并尋求突破。

師：你能畫一條直線把正方形分成面積相等的兩部分嗎？可以先折一折，再畫一畫。（學(xué)生用事先準(zhǔn)備的正方形紙進(jìn)行了動手操作，并很快得出如圖的四種答案）

師（指著第二幅圖）：圖中豎著的這條線叫什么呢？

生：軸對線。

生：不對，應(yīng)該叫這個圖形的對稱軸。

師：剛才大家都是通過對折的方法找到了“對稱軸”（師課件出示：）把正方形進(jìn)行平分的，那還有其他的方法把正方形分成面積相等的兩部分嗎？你們可以畫一畫、剪一剪。（學(xué)生動手操作，嘗試尋找不同的方法）

生（激動）：老師，我找到了（如右圖：）。

（此時，有學(xué)生說他是瞎找找的，該生馬上表示反對，并說是有方法的，隨后教師在學(xué)生中又發(fā)現(xiàn)了類似但在畫法上“方向”不同的幾幅作品并進(jìn)行了一一展示）

此時，教師用課件把學(xué)生先前的若干種情況合并成一幅圖，具體如下：

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么共同特點？（學(xué)生討論）

生：它們都經(jīng)過了正方形的中心點。（師讓學(xué)生找出自己手中正方形的中心點）

師：反觀剛才部分同學(xué)的作品（如右圖：），你們認(rèn)為是否把正方形分成面積相等的兩部分了？

生：沒有，因為它沒有經(jīng)過中心點。

師：那是否經(jīng)過中心點的直線都能把這個正方形分成面積相等的兩部分？你能不能驗證給大家看呢？

（學(xué)生相互討論、合作，很快便有學(xué)生用剪刀沿過中心點的直線把手中的正方形剪成了兩塊，并通過旋轉(zhuǎn)使左右兩塊圖形完全重合）

師：像這樣的直線有多少條？（生分組討論后匯報交流）

生：有無數(shù)條。

生：但所畫的這些直線一定要經(jīng)過中心點。

生：我們組同意前面兩組的想法，但我們組還猜想如果把正六邊形或正八邊形分成面積相等的兩部分，也應(yīng)該有無數(shù)條直線。

【反思】學(xué)生受思維定勢的影響，思考不夠深入，這是預(yù)料之中的，但教師沒有急著把答案“奉獻(xiàn)”給學(xué)生，而是給學(xué)生時間和空間，讓他們在操作、合作中尋求突破——所畫直線均應(yīng)通過正方形的中心點，這正是本節(jié)數(shù)學(xué)課教學(xué)的關(guān)鍵所在。此處雖然用時較多，但還是值得的，學(xué)生在探尋方法的過程中思考著、經(jīng)歷著，有成功亦有失敗，這種體驗對學(xué)生來說是深刻的。他們在交流中相互啟迪，概念逐漸明晰，甚至有學(xué)生已經(jīng)急不可耐地把結(jié)論進(jìn)行推廣，這足可說明學(xué)生有了收獲的喜悅，有了破繭而出的快感。

三、在推廣中深化認(rèn)知，提升思維品質(zhì)

在問題探究的進(jìn)程中，學(xué)生通過獨(dú)立思考、合作交流形成了自己的想法，往往會急于運(yùn)用和表達(dá)，這正體現(xiàn)出學(xué)生的思維已經(jīng)得到發(fā)展。但學(xué)生的認(rèn)知是否得到深化，還要看他們遇到相關(guān)數(shù)學(xué)問題時能否觸類旁通、舉一隅而反三。事實上只有把某一個數(shù)學(xué)結(jié)論自覺進(jìn)行驗證、推廣和運(yùn)用，思維方式在運(yùn)用中自覺遷移，甚至形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知模型時，才能說明學(xué)生的思維正逐漸走向深刻。

師：你們已經(jīng)開始往更深一層想了，真是了不起。那如果畫一條直線把一個長方形分成面積相等的兩部分，分成的圖形分別是什么樣？像這樣又有多少種不同的分法？可以動手畫一畫、比一比。（學(xué)生動手操作后交流，同時匯報得出的結(jié)論：沿中心點畫直線，有無數(shù)條）

師：根據(jù)剛才獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，有同學(xué)說“如果畫一條直線將正六邊形或正八邊形分成面積相等的兩部分，也應(yīng)該有無數(shù)條直線”，這種說法不知是否正確，請同學(xué)們互相交流。

（學(xué)生交流后一致同意：要將正六邊形或正八邊形分成面積相等的兩部分，確實有無數(shù)條直線，但每一條直線都要經(jīng)過圖形的中心點）

師：那正十二邊形要分成面積相等的兩部分，情況會怎樣？正一百邊形呢？

（學(xué)生很快回答：只要經(jīng)過中心點畫直線，都能把正十二邊形或正一百邊形分成面積相等的兩部分，且分別有無數(shù)條）

【反思】此處教學(xué)看似無心，實則有意。教師其實是在“迂回的教學(xué)”過程中放大了學(xué)生對成功的體驗，雖然有學(xué)生提出對“正六邊形、正八邊形”分割情況的猜想，但在這個教學(xué)場中，教師延長了學(xué)生的高峰體驗：正方形有此特征，那長方形是否也具有相同的情況呢？這激發(fā)了學(xué)生的深度思考，在進(jìn)一步的探究中發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”是具有普適性的。這節(jié)課對“畫一條直線將正六邊形分成面積相等的兩部分，有多少種畫法”的思考本是要重點探求的問題，但在此處自然而完美地進(jìn)行了結(jié)論的驗證、推廣和運(yùn)用，深化了學(xué)生的認(rèn)知，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

四、在反思中積累經(jīng)驗

學(xué)生數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗的積累“經(jīng)歷知識形成的過程”非常重要，但引導(dǎo)學(xué)生“回頭看走過的路”，對探索過程進(jìn)行反思更應(yīng)該值得關(guān)注。學(xué)生在反思中往往可以讓內(nèi)隱的思維經(jīng)驗外顯化，并可讓具有鮮明個體特征的思維經(jīng)驗與同伴分享。

師：今天這節(jié)課，你有哪些經(jīng)驗和方法與大家分享呢？

生：要想把正方形、長方形、正六邊形……分成面積相等的兩部分，在畫直線時都要經(jīng)過這些圖形的中心點。

生：像這樣的直線都有無數(shù)條。

生：我還知道，遇到難一點的問題如果不會，可以從簡單的問題入手研究。比如今天一開始是問“正六邊形”的情況，較復(fù)雜，那我們就可以從正方形這種簡單的情況進(jìn)行研究。

生：有時不能僅從正方形一種圖形就得出結(jié)論，還要看看像長方形等是否也有這種規(guī)律，然后才能把這個規(guī)律推廣運(yùn)用。

……

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“圖形分割”問題。學(xué)到現(xiàn)在你們還有什么問題要問嗎？（學(xué)生分小組進(jìn)行了簡單交流）

生：我們沒有問題了。

生：今天學(xué)習(xí)的正多邊形的邊數(shù)都是雙數(shù)的，我們組的問題是：如果邊數(shù)是單數(shù)的，結(jié)果也會像今天這樣嗎？

……

【反思】通過反思，學(xué)生不僅回顧了所學(xué)知識，更深刻體悟到“難的問題不會解決可以想簡單的”這一樸素而又具有普遍意義的數(shù)學(xué)思想。同時，筆者認(rèn)為，成功的數(shù)學(xué)教學(xué)，還應(yīng)當(dāng)使學(xué)生的問題意識不斷得到發(fā)展。雖然已到下課時間，在學(xué)生的反思中，不乏又有新的問題產(chǎn)生，即“單數(shù)邊的正多邊形，也會有這樣的結(jié)果嗎”，這不能不說學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)會了思考，他們的思維經(jīng)驗正在不斷地積累與完善之中。

這是一節(jié)真實而充滿智慧的數(shù)學(xué)課，在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷了思維的全過程，積累了一定的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗，彰顯了數(shù)學(xué)的理性力量。

在本節(jié)課的教學(xué)中可以看到，教師清晰認(rèn)識到學(xué)生認(rèn)知上存在的障礙：不管是正方形、正六邊形還是正八邊形……要想用一條直線把相應(yīng)的圖形分成面積相等的兩部分，大多數(shù)人找不準(zhǔn)到底有多少種分法。事實上，僅作為本節(jié)課的結(jié)論而言是比較簡單的，但教師并沒有把教學(xué)的目標(biāo)直接指向結(jié)果，而是給了學(xué)生思想的自由，給了學(xué)生活動的空間和時間，讓他們在動手操作、合作交流中親身經(jīng)歷解決實際問題逐漸形成思維模型并進(jìn)行推廣運(yùn)用的全過程。在學(xué)習(xí)過程中，深化了學(xué)生的原有認(rèn)知，尤其是課尾的反思環(huán)節(jié)更是體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧，學(xué)生在思辨中問題意識和探究意識得到進(jìn)一步增強(qiáng)，思維經(jīng)驗得到了提升。

（江蘇省金壇市金城鎮(zhèn)中心小學(xué) 213200）