殊"圖"同"歸"

馬征光

摘要：解決平面幾何問題時，經(jīng)常會遇到求線段之和最小值的問題。如果沒有思路，學(xué)生常常會覺得無從下手，將軍飲馬問題形象直觀易于理解，我們把這個問題作為基礎(chǔ)知識，類比到其他較復(fù)雜圖形中，找到解題思路，解決一類題目，不同的情境圖形，歸結(jié)到同一個思路，達(dá)到了殊"圖"同"歸"的效果。

關(guān)鍵詞：將軍飲馬；軸對稱；線段之和最短

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1006-5962（2013）05-0327-02

早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)的學(xué)者海倫，一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從山峰A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的營地B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。

這個問題的解決并不難

如圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，

取A關(guān)于河岸的對稱點A'，連結(jié)A'B，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的.如果將軍在河邊的另外任一點C'飲馬，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.

可見，在C點外任何一點C'飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些。

以將軍飲馬圖形為基本圖形，我們可以解決很多復(fù)雜的圖形問題。

1 在三角形里

例、如圖2所示，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點.若AE=2，EM+CM的最小值為

分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對稱思想，對比將軍飲馬問題，此題的線段AD相當(dāng)于河流，點C，E相當(dāng)于山峰A與營地B，根據(jù)等邊三角形關(guān)于中線的對稱性，利用將軍飲馬思路此題迎刃而解。

解：因為等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，所以點C與點B關(guān)于AD對稱，連接BE交AD于點M，這就是EM+CM最小時的位置，如圖所示，因為CM=BM，所以EM+CM=BE，過點E作EF⊥BC，垂足為F，因為AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因為EC=4， ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2，EF=

2 在四邊形里

2.1 在正方形中。

例.如圖，正方形ABCD，AB邊上有一點E，AE=3，EB=1，在AC上有一點P，使EP+BP為最短.求：最短距離EP+BP.

分析：對比將軍飲馬問題，此題的線段AC相當(dāng)于河流，點B，E相當(dāng)于山峰A與營地B， 根據(jù)正方形沿對角線的對稱性，利用將軍飲馬思路此題迎刃而解。

2.2 在菱形中。

例 如圖5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為 。

分析：對比將軍飲馬問題，此題的線段AC相當(dāng)于河流，點B，E相當(dāng)于山峰A與營地B， 根據(jù)菱形沿對角線的對稱性，利用將軍飲馬思路，此題迎刃而解。

解：如圖5所示，因為點B關(guān)于直線AC的對稱點為D，連接DE，交AC于點P，此時PE+PB和最小，為線段ED.因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形.因為E是AB的中