一題三解，融會(huì)貫通

第22屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第九題是一道考核電磁感應(yīng)的問題。在教學(xué)中，學(xué)生提出了參考答案以外的幾種解法，總結(jié)出來，以饗讀者。

題目：

如圖所示，

水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過圓環(huán)的中心O。一質(zhì)量為m，電阻為R的均勻?qū)w細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，棒與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為μ 。圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=Kr 、方向豎直向上的恒定磁場中，式中K為大于零的常量，r為場點(diǎn)到軸線的距離。金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接。不計(jì)棒與軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場。問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。

注： （x+△x）3=x3+3x2△x+3x（△x）2+（△x）3

解法一：

將整個(gè)導(dǎo)體棒分割成n個(gè)小線元，小線元端點(diǎn)到軸線的距離分別為r0（=0），r1，r2，……，ri-1，ri，……，rn-1，rn（= a），第i個(gè)線元的長度為△ri=ri-ri-1 ，當(dāng)△ri 很小時(shí)，可以認(rèn)為該線元上各點(diǎn)的速度都為vi=ωri ，該線元因切割磁感應(yīng)線而產(chǎn)生的電動(dòng)勢為

三種解法，各有千秋。第一種解法，用微元法和高價(jià)小量近似，把本來需要用應(yīng)用微積分解決的問題，降解為初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)解決，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的物理建模和數(shù)學(xué)分析能力頗有益處。

由 得到 是微元法的精髓。第二種解法，應(yīng)用微積分解題，直截了當(dāng)，非常簡便，但要求應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，不過，新課程高中數(shù)學(xué)涉及了簡單的微積分，優(yōu)秀學(xué)生應(yīng)該可以接受。第三種解法，用能量關(guān)系來解決物體問題，是另一條路徑。學(xué)生能夠想到這些方法，應(yīng)用物理知識(shí)解決問題的思路就開闊了。

作者簡介：朱國強(qiáng)，物理高級(jí)教師，教育碩士，市學(xué)科帶頭人。