數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺析

彭再云,唐平

摘要：“形”和“數(shù)”是數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)的兩種重要形式。通過對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的詮釋，分析其在高考中的重要地位，并通過實(shí)際例子說明數(shù)形結(jié)合思想在幾類高考題型中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；定量關(guān)系；應(yīng)用淺析

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）50-0159-02

一、數(shù)形結(jié)合的詮釋

所謂數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)與形之間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，形成一種重要的思維方法來解決數(shù)學(xué)問題。它是我們分析問題、解決問題的有力工具，“形”和“數(shù)”是數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)的兩種重要形式，“數(shù)”準(zhǔn)確而抽象，“形”形象而粗略。而數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換方式，這種轉(zhuǎn)換不僅有助于數(shù)學(xué)的多樣化表現(xiàn)，也有利于讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)——用數(shù)量的抽象特征來說明圖形形象直觀的事實(shí)，同時(shí)又用圖形直觀具體的特征來說明數(shù)量的抽象性質(zhì)，這正是數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)所在。

二、數(shù)形結(jié)合在高考中的地位

縱觀近幾年的重慶高考試題，很明顯，數(shù)形結(jié)合的思想在考試中占有著重舉足輕重的地位。無論是從總分上看，數(shù)學(xué)高考題150分，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決題型的分?jǐn)?shù)就占了一半甚至上可能更多；還是從題量上看，數(shù)形結(jié)合題型貫穿了整張?jiān)嚲碇械摹斑x擇題”、“填空題”、“簡(jiǎn)答題”。從2009年至2012年重慶高考題的知識(shí)點(diǎn)分析，可以發(fā)現(xiàn)它們都存在著一定的共性，例如：函數(shù)與圖像之間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，曲線的方程和圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系問題，直線與圓之間的問題等都是必考點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的題型在這四年的高考題中的考查基本保持不變，那么對(duì)于今后幾年的高考題中的數(shù)形結(jié)合題型也可能是基本保持不變的，因此重視對(duì)有關(guān)數(shù)形結(jié)合題型的分析，將有助于提高解決此類問題的能力。

三、數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用分析

數(shù)形結(jié)合的方法在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中占有非常重要的地位，在高考試題中的覆蓋面極其廣泛。數(shù)與形是相互結(jié)合，相互滲透，相互轉(zhuǎn)化的。通過對(duì)近四年重慶高考題的分析和總結(jié)發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是常考點(diǎn)，它存在于集合問題、函數(shù)問題、不等式問題、最值問題等各種問題中。下面僅就常見的幾類問題進(jìn)行淺析，對(duì)讀者起拋磚引玉之用。

（一）在集合問題中的應(yīng)用

在集合運(yùn)算中我們通常借助數(shù)軸、集合圖或韋恩圖來處理多個(gè)集合之間的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算。從而簡(jiǎn)化問題，使得集合之間的運(yùn)算操作更為簡(jiǎn)單明了。

例1（2009重慶理.11）若A={x∈R||x|<3}，B={x∈R|2x>1}，則A∩B= 。

【解析】：因?yàn)锳={x|-30}要求集合A與集合B的交集，我們就可以利用數(shù)軸來作圖在圖中表達(dá)出來，圖中陰影部分即為所求。

很明顯利用數(shù)形結(jié)合思想，這一類題很快就解答出來了A∩B=（0，3）。

（二）數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)中的應(yīng)用

借助圖象來研究給定函數(shù)的性質(zhì)是我們慣用的一種方法。函數(shù)圖象的幾何特征和函數(shù)解析式的數(shù)量特征密切聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)與形緊密聯(lián)系，不可分割的特征。

例2（2011重慶理.10）設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2-kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為（？搖？搖 ）

（A）-8？搖？搖（B）8？搖？搖（C）12？搖？搖（D）13

【解析】：（幾何法）由題意需滿足條件：k2>8mm>0m-k+2>00

（三）數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用

在立體幾何中，用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其關(guān)系進(jìn)行研究與解答，可以將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算。

例3（2012重慶理.9）設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，■和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為■的棱異面，則a的取值范圍[16]是（ ？搖？搖）

A.（0，■） B.（0，■） C.（1，■） D.（0，■）

【解析】該題利用三角形存在的條件來求解，利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)已知條件作出圖形，出圖形，如圖所示，AB=■，CD=a，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則ED⊥AB，EC⊥AB，則ED=■=■，同理EC=■。由構(gòu)成三角形的條件知0

評(píng)注：本題考查了立體幾何中四面體的線與線之間的關(guān)系，以及學(xué)生的空間想象能力。根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，直觀清晰地想到解題思路。

（四）數(shù)形結(jié)合在極值與最值問題中的應(yīng)用

例4（2011重慶理.15）設(shè)圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所組成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為 。

【解析】：為了使圓C的半徑取得最大值，很明顯，圓心應(yīng)該在x軸上，并且圓與拋物線和直線x=3同時(shí)相切。因此設(shè)圓 C的半徑為r，則圓C的方程為（x+r-3）2+y2=r2，將其與y2=2x聯(lián)立得：x2+2（r-2）x+9-6r=0，令判別式Δ=[2（r-2）]2-4（9-6r）=0，并由r>0，得r=■-1。

評(píng)注：本題考查了數(shù)形結(jié)合在最值問題中的應(yīng)用，具體涉及直線、圓及拋物線之間的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)。作出圖形，直觀清晰地得到解題思路，假設(shè)出圓的方程。

四、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)的教學(xué)中占有著非常重要的地位，在高考試題中的覆蓋面極其廣泛。利用數(shù)形結(jié)合思想，較容易找到解決問題的方法，可避免復(fù)雜的推理和計(jì)算，少走彎路，從而將解題過程變得更為簡(jiǎn)單。毫無疑問，通過提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，將對(duì)圖形與數(shù)量組合的理解更為深刻，能促進(jìn)學(xué)生解決相關(guān)問題能力的發(fā)展，從而打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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