精選例題，提高中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效率

葉秋華

【摘要】 中考復(fù)習(xí)課在初三教學(xué)中占據(jù)相當(dāng)大的比重，尤其在初三下學(xué)期幾乎都是復(fù)習(xí)課.故中考復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量將直接影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的運(yùn)用、基本思想的感悟、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.因此，提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率，是幫助學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活需要和進(jìn)一步發(fā)展需要的必由之路.

【關(guān)鍵詞】 復(fù)習(xí)教學(xué)；思想方法；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，中考復(fù)習(xí)課在初三課堂教學(xué)中占據(jù)相當(dāng)大的比重，尤其在初三下學(xué)期幾乎都是復(fù)習(xí)課.可見，復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率將直接影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的運(yùn)用、基本思想的感悟、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.因此，提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率，是幫助學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活需要和進(jìn)一步發(fā)展需要的必由之路. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然教師對(duì)于復(fù)習(xí)課都有高度的重視，但還是在很多數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中出現(xiàn)“教師一言堂”、“題海戰(zhàn)術(shù)”、“知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單的重復(fù)”等一些低效甚至無(wú)效現(xiàn)象.筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課應(yīng)在“精”字上做文章.即通過(guò)教師精心的設(shè)計(jì)、精煉的講解，幫助學(xué)生學(xué)得精要、習(xí)得精深，從而達(dá)到事半功倍的效果，提高中考復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量，最終實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

一、立足核心內(nèi)容，精夯基礎(chǔ)知識(shí)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生發(fā)展的前提，是學(xué)生能力提高的先決條件；數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的連接點(diǎn)，包括知識(shí)概念的內(nèi)涵與外延、地位與作用，以及變式與聯(lián)系.因此，筆者在復(fù)習(xí)教學(xué)中通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的全面回顧、系統(tǒng)梳理、整合重組，以期達(dá)到基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)化、基本技能自動(dòng)化、基本思想方法熟練化的良好效果.

案例1 在復(fù)習(xí)“平行四邊形與特殊平行四邊形”時(shí)，筆者不僅局限于判定、性質(zhì)的綜合運(yùn)用，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

問題：（2007年杭州卷）我們學(xué)習(xí)了四邊形和一些特殊的四邊形，下圖表示了在某種條件下它們之間的關(guān)系.如果①，②兩個(gè)條件分別是：①兩組對(duì)邊分別平行；②有且只有一組對(duì)邊平行. 那么筆者給出此題目時(shí)，學(xué)生都能較好地回答，可看出學(xué)生都能較好地掌握基礎(chǔ)知識(shí). 這離不開筆者在平常教學(xué)中注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、掌握，在上新課及單元復(fù)習(xí)課時(shí)，注重每種特殊四邊形之間的關(guān)系，把這一章節(jié)內(nèi)容搭建得“精練”，達(dá)到知識(shí)的“濃縮”.從而在中考復(fù)習(xí)中學(xué)生都能較好地解決此類問題.研究表明：結(jié)構(gòu)良好的知識(shí)體系，能減少記憶的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，促使信息有序地轉(zhuǎn)移到長(zhǎng)期記憶中，從而讓學(xué)生更好地理解記憶、存儲(chǔ)運(yùn)用.

二、提煉基本圖形，精現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

著名數(shù)學(xué)大師波利亞指出：學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是自己發(fā)現(xiàn)的，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.基本圖形有著廣闊的拓展空間，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生提煉基本圖形，幫助學(xué)生運(yùn)用基本圖形解決幾何問題，這樣才能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，從而促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.

案例2 在復(fù)習(xí)“相似三角形”時(shí)，筆者進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)

師：在這個(gè)復(fù)雜的圖形中有沒有剛才我們熟悉的基本圖形，哪兩個(gè)三角形相似？

生：有，因?yàn)椤螧 = ∠AEF = ∠C = 45°，所以△ABE∽△ECF.

師：利用相似，如何求CF？

基本圖形是解題之本，具有廣泛的拓展、應(yīng)用空間，許多題目都是根據(jù)基本圖形來(lái)巧妙設(shè)計(jì)的. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者非常重視基本圖形的提煉、探究、運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形當(dāng)中抽象出基本圖形，抓住問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

三、聯(lián)系生活實(shí)際，精構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是生活的源泉，數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁等各個(gè)方面，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn).因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，對(duì)于較復(fù)雜的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)感知和表征、抽象和概括，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)問題，繼而建立數(shù)學(xué)模型.在建立數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高應(yīng)用能力、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

請(qǐng)結(jié)合表中提供的信息，解答下列問題：

（1）設(shè)裝運(yùn)A種物資的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)B種物資的車輛數(shù)為y. 求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果裝運(yùn)A種物資的車輛數(shù)不少于5輛，裝運(yùn)B種物資的車輛數(shù)不少于4輛，那么車輛的安排有幾種方案？并寫出每種安排方案.

（3）在（2）的條件下，若要求總運(yùn)費(fèi)最少，應(yīng)采用哪種安排方案？請(qǐng)求出最少總運(yùn)費(fèi).

分析 （1）根據(jù)題意列式：12x + 10y + 8（20 - x - y） = 200，變形后即可得到y(tǒng) = 20 - 2x.

（2）根據(jù)轉(zhuǎn)運(yùn)A種物資的車輛數(shù)不少于5輛，裝運(yùn)B種物資車輛數(shù)不少于4輛，得x ≥ 5，20 - 2x ≥ 4，解不等式組即可.

（3）根據(jù)題意列出利潤(rùn)與x之間的函數(shù)關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)是一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值，根據(jù)實(shí)際意義可知整數(shù)x = 8時(shí)，利潤(rùn)最大.

我們常把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，繼而建立數(shù)學(xué)模型求解，可用如下的圖示來(lái)表示：

引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型與實(shí)際生活問題的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯模型的應(yīng)用價(jià)值，從而增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.

四、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，精滲思想方法

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂. 掌握數(shù)學(xué)思想方法可以使數(shù)學(xué)知識(shí)更容易理解和記憶；進(jìn)一步說(shuō)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法是實(shí)現(xiàn)正遷移的有效途徑. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者以典型題目為載體，將統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)的思想方法提煉出來(lái)，從而有利于學(xué)生更透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，從而提高獨(dú)立分析問題、解決問題的能力.

案例4 （2010佛山） 一般來(lái)說(shuō)，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫“分類”的思想. 將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類進(jìn)行研究和求解的方法叫做：“分類討論”的方法.請(qǐng)依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：如圖7，在△ABC中，∠ACB > ∠ABC.

（1）若∠BAC是銳角，請(qǐng)?zhí)剿髟谥本€AB上有多少個(gè)點(diǎn)D，能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）.

（2）請(qǐng)對(duì)∠BAC進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸?，直接寫出每一類在直線AB上能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）的點(diǎn)D的個(gè)數(shù).

分析 （1）（i）如圖8，若點(diǎn)D在線段AB上，由于∠ACB > ∠ABC，可以作一個(gè)點(diǎn)D滿足∠ACD = ∠ABC使得△ACD∽△ABC.

（ii）如圖9，若點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上，則∠ACD > ∠ACB > ∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點(diǎn)D不存在.

（iii）如圖10，若點(diǎn)D在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，由于∠BAC是銳角，則∠BAC < 90° < ∠CAD，不可能有△ACD ∽ △ABC，因此，這樣的點(diǎn)D不存在 . 綜上，這樣的點(diǎn)D只有一個(gè).

（2）若∠BAC為銳角，由（1）知，這樣的點(diǎn)D有一個(gè)；若∠BAC為直角，這樣的點(diǎn)D有兩個(gè)；若∠BAC為鈍角，這樣的點(diǎn)D有一個(gè).

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有很多，比方說(shuō)：分類討論思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、類比思想、整體思想等，突出這些思想方法就等同于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，就能更好地駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

綜上，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者通過(guò)精心的設(shè)計(jì)、精煉的講解，幫助學(xué)生學(xué)得精要、習(xí)得精深；有計(jì)劃、有目的地指導(dǎo)學(xué)生提煉解題方法、內(nèi)化解題策略，達(dá)到“解一題、得一法、會(huì)一類、通一片”的效果，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的高效，從而全面提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]徐駿. 也談提高初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課實(shí)效的做法[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（4）：11-14.

[3]張偉俊. 基于教學(xué)案的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的實(shí)踐與思考——以“解直角三角形”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（7-8）：23-26.