合情推理與演繹推理

湯安寧

【摘要】 合情推理與演繹推理是相輔相成的關(guān)系，兩者既對立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這對于提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是極為有益的.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)推理；合情推理；演繹推理

一、合情推理與演繹推理的關(guān)系

在數(shù)學(xué)中，從推理的結(jié)果來區(qū)分，有論證推理和合情推理. 論證推理通常叫證明或演繹推理，演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，所得結(jié)論是可靠的. 然而，由合情推理所得的結(jié)論是不能最終肯定的，只能叫猜想或假說. 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果），以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.自從希臘的哲學(xué)之父泰勒斯把演繹方法引入數(shù)學(xué)以后，演繹證明就構(gòu)成了數(shù)學(xué)的靈魂，深入的演繹推理能夠挖掘出前提中蘊(yùn)藏得很深的結(jié)論，它使數(shù)學(xué)的理論形成了嚴(yán)密的體系，為數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展起了至關(guān)重要的作用.但演繹推理從本質(zhì)上講，不能為我們提供新的知識(shí)，彭加勒說：“邏輯學(xué)與發(fā)現(xiàn)、發(fā)明沒有關(guān)系.”這句話雖然說得有些過分，但卻突出地指出了演繹作用的局限性.至于合情推理，它的特點(diǎn)是使人富于聯(lián)想、創(chuàng)造.但由于合情推理得出的結(jié)論往往超出前提控制范圍，前提就無力保證結(jié)論為真，因此，合情推理只能是或然性的推理，它的正確性需用演繹方法加以證明.一般地說，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論是建立在演繹推理之上的，但數(shù)學(xué)的結(jié)論及相應(yīng)的證明方法則又是靠合情推理去發(fā)現(xiàn)的.因此，演繹推理與合情推理是相輔相成的關(guān)系，兩者既對立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體.

二、運(yùn)用合情推理與演繹推理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的案例

在“等腰三角形性質(zhì)”的教學(xué)中，筆者運(yùn)用合情推理與演繹推理讓學(xué)生先猜想，再證明，教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1. 運(yùn)用合情推理，讓學(xué)生動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)猜想結(jié)論

本節(jié)課一開始，教師請全體同學(xué)拿出準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片（上節(jié)課已布置），并動(dòng)手將等腰三角形對折（如圖），要求每名學(xué)生在操作過程中細(xì)心觀察，或用三角板、量角器進(jìn)行測量，猜想圖形中的線段、角等關(guān)系，并將發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫出來.

由于等腰三角形的紙片是學(xué)生自己制作的，其思想感情、學(xué)習(xí)興趣都比較濃厚.于是，經(jīng)學(xué)生的獨(dú)立探索后，老師請同學(xué)自由發(fā)言，在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生歸納得到：

（1）∠B = ∠C.

（2）BD = DC（AD是折痕）.

（3）∠BAD = ∠CAD.

（4）∠ADB = ∠ADC = 90°.

（5）△ADB ≌ △ADC.

（6）△ABC是軸對稱圖形.

2. 運(yùn)用演繹推理， 讓學(xué)生對猜想的結(jié)論進(jìn)行證明后再討論

結(jié)論是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，猜想結(jié)論的證明也就成了學(xué)生自發(fā)的需要.于是，教師趁熱打鐵，要求同學(xué)對猜想結(jié)論： ∠B = ∠C進(jìn)行證明.這個(gè)過程讓學(xué)生獨(dú)立完成或同學(xué)間討論完成，教師僅對個(gè)別差生輔導(dǎo)，待大部分同學(xué)證明好之后，教師指定一名同學(xué)到講臺(tái)上對全體同學(xué)講述并板書證明過程（其證明思路是：畫底邊BC的中線AD， 證△ADB≌△ADC，得∠B=∠C），接著教師指出，以上證明過程實(shí)際上已證明了全部的猜想結(jié)論，同時(shí)又提出以下問題讓學(xué)生討論.

問題1：你是怎樣想到作底邊中線AD的？

學(xué)生思考后討論式發(fā)言，認(rèn)為：①由折痕想到的.②要證角相等，先想到證三角形全等.添上中線AD，就有了兩個(gè)三角形全等.

問題2：還有另外作輔助線的方法嗎？

學(xué)生討論后，有兩名同學(xué)舉手發(fā)言指出：還可作∠BAC的角平分線或者作底邊BC上的高，這時(shí)教師當(dāng)即給予肯定，并請他們講述思路，使他們享受到發(fā)現(xiàn)者的喜悅.

問題3：從以上證明過程中我們可以得到哪些“副產(chǎn)品”.

引導(dǎo)學(xué)生抓住中線AD的三重性，讓學(xué)生討論后得到：等腰三角形的頂角角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相重合.

三、對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？筆者認(rèn)為：

1. 營造一個(gè)寬松的、良好的可供學(xué)生猜想、證明的空間

教師可以經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生“從最簡單的開始！”——以此作為座右銘，為歸納、猜想提供一個(gè)適當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)和立足點(diǎn)，讓學(xué)生主動(dòng)、積極地去猜想結(jié)論，然后讓學(xué)生自己去證明由猜想得到的結(jié)論.

2. 把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為“再創(chuàng)造”的過程

在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，先引導(dǎo)學(xué)生猜想這個(gè)定理的內(nèi)容，在完全作出詳細(xì)證明之前，先引導(dǎo)學(xué)生猜測證明的思路，努力探索出符合培養(yǎng)“猜想、證明” 推理能力的教學(xué)模式.

3. 在解題活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生見沒有答案（或結(jié)論）時(shí)，可先猜測一下答案（或結(jié)論）

猜側(cè)答數(shù)的形式，答數(shù)的范圍；猜測中間結(jié)論；猜測解題方向，以形成思路；對某思路的能解性作出估計(jì)等，在此基礎(chǔ)上完成數(shù)學(xué)問題的解題過程，同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生在演繹試推中提倡推中有猜，猜后再推.培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.教育與數(shù)學(xué)教育.長春：東北師范大學(xué)出版社，2006.