初中數(shù)學課堂教學中應當滲透一點合情推理

丁祖元

【摘 要】合情推理就是一種合乎情理的推理，是指根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。長期以來，中學數(shù)學教學一直強調(diào)教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性，特別注重發(fā)展學生的演繹推理能力，忽視了學生合情推理能力的培養(yǎng)，這樣一來，勢必使學生的推理意識與能力形成缺陷，使學生的創(chuàng)造性思維受到抑制。從這個角度與意義上講，在初中數(shù)學課堂教學中，除了努力培養(yǎng)學生的演繹推理能力外，還應適當滲透一點合情推理。

【關鍵詞】數(shù)學教學 合情推理 推理能力

美國著名數(shù)學家波利亞說：“數(shù)學可以看作是一門證明的科學，但這只是一個方面，完成了數(shù)學理論，用最終形式表示出來，像是僅僅由證明構(gòu)成的純粹證明性。嚴格的數(shù)學推理以演繹推理為基礎，而數(shù)學結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。”長期以來，中學數(shù)學教學一直強調(diào)教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性，特別注重發(fā)展學生的演繹推理能力，忽視了學生合情推理能力的培養(yǎng)，這樣一來，勢必使學生的推理意識與能力形成缺陷，使學生的創(chuàng)造性思維受到抑制。從這個角度與意義上講，在初中數(shù)學課堂教學中，除了努力培養(yǎng)學生的演繹推理能力外，還應適當滲透一點合情推理。

合情推理就是一種合乎情理的推理，是指根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、頓悟、靈感等思維形式。波利亞等數(shù)學教育家認為，演繹推理是確定的、可靠的；合情推理則帶有一定的風險性，而在數(shù)學中合情推理的應用與演繹推理一樣廣泛?！稊?shù)學課程標準》要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”，也就是要求學生在獲得數(shù)學結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。

合情推理是一種創(chuàng)造性的思維活動，合情推理能力是數(shù)學能力的重要內(nèi)容。在平時的數(shù)學課堂教學中，合理使用合情推理與演繹推理，會給我們的教學增光添彩。

一、恰當?shù)貞煤锨橥评恚浞职l(fā)揮其較強的類比聯(lián)想的能力

數(shù)學上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學問題的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學問題的性質(zhì)（解法）遷移到另一類未知的問題上去的一種合情推理。其表現(xiàn)為善于根據(jù)問題的特征（結(jié)構(gòu)、屬性等），聯(lián)想某一熟悉的問題，依據(jù)它們在某些方面相似或相同之處，去歸納、概括所給問題的概念、性質(zhì)或推斷解題方法或思路。

例：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求如圖放置的兩個正方形的邊長。

解析：目標問題對學生來說顯得比較復雜，通過回憶，尋找原問題，聯(lián)想到課本例題：在一個直角三角形中求一個正方形的邊長。通過作斜邊上的高，再利用相似三角形的相關知識，就可以得到正方形的邊長。

利用類比的思維方法，同樣作CD⊥AB，容易求得CD= 。設一個正方形的邊長為x，利用△CEF∽△CAB得到： = ，解得x= ，即正方形的邊長為 。

進一步思考，我們可以擴展到求如圖2放置的n個正方形的邊長。利用△CEF∽△CAB得到：

= ，解得x= ，即正方形的邊長為 。

還可以進一步讓學生思考：如果將正方形換成半圓，解題方法會變嗎？結(jié)論又會怎樣呢？

二、恰當?shù)貞煤锨橥评?，合理使用其較強的揭示規(guī)律的能力

歸納推理是思維過程中從特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。其表現(xiàn)為善于根據(jù)所給問題的形式、結(jié)構(gòu)，通過觀察、試驗、分析和歸納，猜想一般的結(jié)論，或善于將所給問題與簡單的、熟悉的情況作對比分析，從中尋找規(guī)律、歸納結(jié)論。

例：如圖3，將邊長為1的等邊三角形△OAP沿x軸正方向連續(xù)平移2013次，點P依次落在點P1、P2、P3、…、P2013的位置，則點P2013的坐標為（ ， ）。

容易發(fā)現(xiàn)P1、P2、P3、…、P2013的縱坐標為 ，如果要直接寫P2013的橫坐標，學生還是有一定困難的。因此，我們可以首先寫出前幾個點P1、P2、P3的橫坐標，然后觀察點的下標與橫坐標的關系，最后尋求一般規(guī)律。故不妨作如下分析：

所以P2013的橫坐標為 +2012= ，即P2013的坐標為（ ， ）。

通過上面“由特殊到一般”的合情推理，我們可以知道Pn的坐標為（ ， ）。

三、恰當?shù)貞煤锨橥评?，盡可能避免不必要的分類討論

“分類討論”是一種重要的數(shù)學思想，許多問題都離不開分類討論。但是有些問題若能認真分析，通過恰當?shù)暮锨橥评?，變換思維角度，往往可以避免分類討論，使問題的解決更為簡捷。

例：如圖4，在Rt△ABC中∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b是方程x2-10x+18=0的兩個根，P是AB斜邊上一點，過P作BC、AC的平行線，分別交AC、BC于D、E兩點。設AP=x，矩形CDPE的面積為S，試用含x的代數(shù)式表示S。

很多學生會根據(jù)方程x2-10x+18=0求出兩個根，然后分a=5+ ，b=5- 或a=5- ，b=5+ 兩種情況作分類討論，從而給解題帶來了相當大的麻煩，做完后發(fā)現(xiàn)，兩種情況的結(jié)果是一樣的，這就值得我們進行反思。

事實上，我們作一點合情推理，S=PD·PE，由△APD∽△ABC，△PBE∽△ABC容易得到PD= ，PE= ，所以S= 。根據(jù)題意ab=18，因此，只要求出c，問題就解決了。a+b=10，a2+2ab+b2=100，將ab=18代入得a2+b2=64，c=8，所以S= = =- x2+ x。像這種可以整體處理的問題，不必做分類討論，而解決問題的關鍵是利用合情推理進行分析。

四、恰當?shù)貞煤锨橥评?，進行合理的估算，優(yōu)化解題過程

對于一道數(shù)學題，由于審視的角度不同，往往會得到多種不同的解法。平時的教學中，教師常常會引導學生通過聯(lián)想、類比、遷移獲得多種解法。事實上，有些數(shù)學問題，如果恰當?shù)貞靡恍┖锨橥评?，進行合理的、簡單的估算，那么，解題過程就會優(yōu)化。

例：如圖5，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動。在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）。試問：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

由于無法判斷AD、FC、BC的大小，常規(guī)解法是分AD為斜邊、FC為斜邊、BC為斜邊三種情況進行分類討論。但是，我們細致分析，發(fā)現(xiàn)BC不能為斜邊，因此解答過程可以優(yōu)化。

在Rt△ABC中易知AC=2BC=12，若設AD=x（0DC，AD+FC>AD+DC=12，所以，AD、FC中至少有一條線段的長度大于6，所以BC不能為斜邊。若FC為斜邊時，x2+62=（12-x）2+42，解得x= ；若AD為斜邊時，62+（12-x）2+42=x2，解得x= >8（不合題意，舍去）。所以，當AD的長為 時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形。

合情推理能力的形成與發(fā)展是一個漸行漸近的過程，教師不能急于求成，要根據(jù)學科特點和學生實際，善于抓住時機，因勢利導，努力把握合情推理與演繹推理的結(jié)合點，在潛移默化中培養(yǎng)和訓練學生的合情推理能力。同時，要幫助學生努力抓好“四基”，完善學生的知識網(wǎng)絡、認知結(jié)構(gòu)，著力培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和個性品質(zhì)；還要努力營造和諧的氛圍，激發(fā)學生主動參與的興趣，給學生創(chuàng)設主動參與的條件，為學生合情推理能力的形成與發(fā)展奠定基礎。當然，在合情推理能力的培養(yǎng)過程中，也不能忽視演繹推理的重要性，更不能以合情推理來代替數(shù)學證明、解答，應將合情推理與演繹推理結(jié)合起來，視合情推理為演繹推理的前奏、演繹推理為合情推理的升華，這樣才能優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，全面提升學生的推理能力。

【參考文獻】

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（作者單位：江蘇省張家港市教育局教研室）