感悟不等關(guān)系 建立數(shù)學(xué)模型

趙春

一、教材分析與設(shè)計(jì)理念

本節(jié)內(nèi)容為蘇教版《數(shù)學(xué)》必修五第三章第一節(jié)。在初中階段，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了不等符號(hào)，會(huì)做一些簡(jiǎn)單的大小比較練習(xí)。教材給出了3種類型的不等關(guān)系問題，分別為一元一次、一元二次、二元一次不等式（組），讓學(xué)生體會(huì)生活中“不等關(guān)系”的廣泛存在與應(yīng)用，學(xué)會(huì)在生活中建立抽象的數(shù)學(xué)模型，并用來解決問題，即實(shí)施“實(shí)際問題—數(shù)量關(guān)系—不等式—解不等式—解決實(shí)際問題”的教學(xué)思路，而本節(jié)課的重點(diǎn)則是前三步，是為后續(xù)內(nèi)容打下建模的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。

在設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，考慮到內(nèi)容難度不大，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“自主、合作、探究”去解決問題，也可以引導(dǎo)學(xué)生采取自學(xué)的方式來完成學(xué)習(xí)任務(wù)。但是既然上一節(jié)課，就要讓學(xué)生有更大的收獲，因此我在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，就本節(jié)課的深度和廣度進(jìn)行了考慮。作為本章的起始內(nèi)容，我認(rèn)為不能太難，不能太過理論抽象，否則將破壞學(xué)生下面學(xué)習(xí)的積極性，因此我的設(shè)計(jì)沒有加入理論性的證明。本節(jié)課作為本章一個(gè)統(tǒng)領(lǐng)性的課題，應(yīng)該立足于生活中廣泛存在著數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，從中提煉出數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。

我這樣設(shè)計(jì)：生活中的小常識(shí)（糖水問題中的數(shù)量關(guān)系）—不等關(guān)系的廣泛存在—課本三個(gè)例子—建模的過程與關(guān)鍵—生活中的數(shù)學(xué)。這樣的教學(xué)流程讓學(xué)生自然順暢地在生活和數(shù)學(xué)的融合中進(jìn)行探究與發(fā)現(xiàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：

1.通過具體情境，使學(xué)生感受在日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，進(jìn)而了解不等式（組）的背景。

2.通過課堂的合作探究，讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，熟悉建立不等式模型的基本思路，學(xué)會(huì)基本方法。

過程與方法：

通過大量實(shí)例讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)和生活中的不等關(guān)系。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過課堂教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)的重要作用，培養(yǎng)與提高學(xué)生的觀察能力與抽象思維能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生用不等式刻畫現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系。

難點(diǎn)：通過具體情境建立不等關(guān)系模型。

四、教學(xué)過程

1.情境創(chuàng)設(shè)。

（教師演示）教師兩手各持一個(gè)一樣大小的杯子，分別倒入了50g、200g的水，分別在兩個(gè)杯子中依次加入5g、10g糖，攪拌均勻至完全溶解。

師：我在剛才的過程中提到了4個(gè)數(shù)字。

（板書）50、200，5、10

我們平時(shí)所說的左邊杯子中水比右邊水少，用數(shù)量關(guān)系該如何表示？

生：50<200。

師：哪一杯中的糖更多？能否用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示？

生：右邊的杯子糖多，表示為10>5。

師：你認(rèn)為哪杯水更甜？

生：左邊的50g水的更甜。

師：請(qǐng)你嘗嘗看是不是這樣呢？

（在學(xué)生肯定了答案之后再問）你能否也通過一個(gè)數(shù)量關(guān)系式來表示哪杯水更甜呢？

生：更甜是指糖水的濃度更大，因此表示為

> ，這個(gè)結(jié)果化簡(jiǎn)即可證明。

師：如果我在左邊的杯子里再加入xg糖，這杯水會(huì)比剛才更甜還是淡？體現(xiàn)出什么樣的數(shù)量關(guān)系？

生：更甜。 >

師：這個(gè)表達(dá)式，同學(xué)們課后可以自己通過做差比較驗(yàn)證。

從這個(gè)試驗(yàn)中，我們看到了實(shí)際問題中蘊(yùn)含了很多數(shù)量關(guān)系，生活中的數(shù)量關(guān)系除了我們以前所學(xué)的等量關(guān)系以外，還有很多不等關(guān)系，如比較兩個(gè)同學(xué)一高一矮，兩個(gè)同學(xué)跑步一快一慢等等，這便是我們今天要一起來探究的《不等關(guān)系》（投影）。

不等關(guān)系來源于生活，我們今天來研究它，又能解決什么樣的實(shí)際問題呢？讓我們走出去看一看：（投影）

2.數(shù)學(xué)建模。

例1 班級(jí)打算周末組織同學(xué)去寶應(yīng)湖濕地公園踏青，已知門票為每位50元，40人以上（含40人）時(shí)可以打8折，經(jīng)統(tǒng)計(jì)參加人數(shù)不足40人?，F(xiàn)在有兩種購(gòu)票方式：一是按照40人購(gòu)團(tuán)體票，二是按照實(shí)際人數(shù)購(gòu)票。哪種購(gòu)票方式花費(fèi)更少？

學(xué)生小組討論，很快得出了結(jié)論。

（1）題目中涉及了哪些量，將其列出：

票價(jià) 人數(shù)

50 <40

50×0.8 ≥40

（2）它們滿足什么樣的關(guān)系或者我們要解決什么問題？

比什么：團(tuán)體票總價(jià)與個(gè)體票總價(jià)。

怎么比：哪個(gè)更省？

比如前者更省，便得到了數(shù)量關(guān)系：

團(tuán)體票總價(jià)<個(gè)體票總價(jià)

（3）將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為表達(dá)式：

解：設(shè)實(shí)際參加人數(shù)為x（x<40，x∈N*）人

50×0.8×40<50x

師：我們今天解決的問題是建立不等關(guān)系，至于這個(gè)不等式怎么解，留到以后研究。

買好票進(jìn)了公園，管理員又給大家出了一個(gè)問題：（投影）

例2 公園若以每人50元的價(jià)格出售門票，每周約有游客2萬人，經(jīng)過調(diào)查，如果采取促銷策略，價(jià)格每降低1元，游客數(shù)則會(huì)增加1000人，若門票降低了x（x∈N*）元，要使公園的門票收入大于120萬元，x應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？

小組討論，著重探究過程：

（1）找量：票價(jià) 人數(shù)

50 20000

50-x 20000+1000x

（2）找關(guān)系：總收入>120萬元

（3）列式：（50-x）（20000+1000x）>1200000

師：游玩了半天后，來到公園餐廳，能否幫廚師解決這個(gè)問題呢？（投影）

例3 公園的綠色餐廳營(yíng)養(yǎng)快餐由甲、乙和丙三種食物混合而成（維生素含量如下表）。

廚師現(xiàn)在欲將三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A以及40000單位的維生素B，設(shè)甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y，z應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

（1）題目中已經(jīng)將有關(guān)量通過表格的形式呈現(xiàn)出，要注意的是除了常數(shù)以外，變量也是一方面，不能忽略。

（2）找關(guān)系：（不要忽略實(shí)際問題的隱含條件）

總重量=100

維生素A的含量≥35000

維生素B的含量≥40000

（3）列式：

x+y+z=100300x+500y+300z≥35000700x+100y+300z≥40000x，y，z∈（0，100）

師：通過公園游玩中遇到的三個(gè)實(shí)例，大家是否可以總結(jié)出我們由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟？

生：找量—找關(guān)系—列式。

師：既然我們從幾個(gè)例子中找到了一般規(guī)律，那我們?cè)倩氐缴钪?，看看你?duì)下列哪個(gè)方面的問題感興趣。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用。

不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些感興趣和富有時(shí)代感的內(nèi)容，加深認(rèn)識(shí)。

展示課件：分別用六個(gè)按鈕鏈接了6個(gè)職業(yè)的例子，由學(xué)生自主選擇。

植物學(xué)家 海監(jiān)船員 投資顧問

藥劑師 數(shù)學(xué)家 公務(wù)員

學(xué)生首先選了“公務(wù)員”（投影）：

揚(yáng)州市決定將今年新招聘的公務(wù)員安排到鄉(xiāng)鎮(zhèn)基層鍛煉，如果每個(gè)定點(diǎn)的鄉(xiāng)鎮(zhèn)安排4人，那么有20人無法安排，如果每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)安排7人，那么有一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)將會(huì)不空也不滿，求定點(diǎn)鍛煉的鄉(xiāng)鎮(zhèn)數(shù)和公務(wù)員人數(shù)。

學(xué)生板書一：假設(shè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)數(shù)為x（x∈N*）個(gè)，表示出人數(shù)為4x+20。

列式：0<（4x+20）-7（x-1）<7

學(xué)生板書二：假設(shè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)數(shù)為x，公務(wù)員數(shù)為y，（x，y∈N*）。

y=4x+200

學(xué)生第二次選擇的是“投資顧問”（投影）：

公司計(jì)劃用不超過60萬的資金投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙的投資的 ，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤(rùn)。假設(shè)對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目的投資分別為x、y萬元，試設(shè)計(jì)出滿足題意的關(guān)系式使利潤(rùn)不少于24萬元。

學(xué)生解答x+y≤60x≥ y0.4x+0.6y≥24x，y≥5

（課堂時(shí)間一般能解決兩個(gè)問題，其他備選例題附后——編者注）。

4.課堂小結(jié)。

了解不等關(guān)系在生活中的廣泛運(yùn)用；可以通過具體情景建立不等式模型；“找量—找關(guān)系—列式”這個(gè)過程中關(guān)鍵是第二步；可以問兩個(gè)問題：一是比什么？即找出是哪幾個(gè)量在進(jìn)行比較；二是怎么比？即這些量之間是用什么關(guān)鍵詞連接的。

4.課后作業(yè)

（1）課本P74練習(xí)2-4。

（2）自己再?gòu)纳钪袑ふ也坏汝P(guān)系，同學(xué)之間相互交流。

（3）預(yù)習(xí)一元二次不等式的解法，體會(huì)本章在實(shí)際生活中的作用。

附：

植物學(xué)家：某種植物適合生長(zhǎng)在溫度為不低于18℃不高于20℃的山區(qū)，已知山區(qū)海拔每升高100米氣溫下降0.55℃，現(xiàn)測(cè)得山腳下的平均氣溫為22℃，該植物種在山區(qū)多高處為宜？

解：設(shè)植物應(yīng)該種在山區(qū)x米處

18≤22- ×0.55≤20

海監(jiān)船員：中國(guó)海監(jiān)巡航編隊(duì)在我國(guó)釣魚島海域巡航時(shí)，測(cè)得在距離釣魚島300海里的正東方向有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以30海里/小時(shí)的速度向北偏西30度的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270海里的范圍內(nèi)將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)后釣魚島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響？

本題為一元二次關(guān)系，量的列出形式多樣，除了例題中的表格展示外，本題也是一個(gè)典型的通過圖形來展示的模型。

解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后受到臺(tái)風(fēng)影響：

3002+（30x）2-2×300×30x×cos60°<2702

藥劑師：配置A和B兩種藥劑需要甲和乙兩種原料，已知配一劑A種藥需要甲原料3mg、乙原料5mg；配一劑B種藥需要甲原料5mg、乙原料4mg，今有甲原料20mg、乙原料25mg，設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑，且A、B兩種藥至少各配一劑，試列出關(guān)于x、y的不等式組。

解：3x+5y≤205x+4y≤25x∈N*y∈N*

數(shù)學(xué)家：K是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)AK，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，△AKD與△BKM的面積和隨著DK長(zhǎng)度的變化是否會(huì)小于0.5？

解：設(shè)DK=x，則BK= -x，利用相似比：

= 得BM= -1

xsin45°+ （ -x）（ -1）<

（作者單位：江蘇省興化中學(xué)）