對計算機知識經(jīng)濟時代數(shù)學教育的思考

王鵬遠

名師速寫

這是一位如今已年逾七旬的老教師。自1960年踏上講臺以來，他已經(jīng)在數(shù)學教育園地辛勤耕耘了53年，把畢生心血都貢獻給了數(shù)學教育。

“熱愛學生、愛崗敬業(yè)、淡泊名利、勤于思考、不懈追求、勇于創(chuàng)新”是他一貫的信條。啟發(fā)式的講解、幽默的語言、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，是他特有的教學風格。認識他的人，總是能被他樂觀向上、充滿活力的狀態(tài)所感染。

他是國內(nèi)最早把信息技術(shù)引入數(shù)學的教師之一。1994年，他的論文《從教學軟件<數(shù)列的極限>引發(fā)的思考》發(fā)表后，曾引起轟動。在當時，包括北大的一些教授都對計算機輔助教學持懷疑態(tài)度。而這篇論文用翔實的案例說明，恰當?shù)厥褂眉夹g(shù)，即使對于“數(shù)列的極限”這樣高度抽象的概念，也可以取得比傳統(tǒng)手段更優(yōu)的教學效果。

為了讓更多數(shù)學教師從計算機輔助教學中受益，1999年他主編了國內(nèi)第一本關(guān)于幾何畫板的書——《如何用幾何畫板教數(shù)學》，隨后參與我國著名數(shù)學家張景中院士的團隊，組織策劃我國自主研制的《超級畫板》實驗研究項目。

老驥伏櫪，志在千里。如今，他依然活躍在數(shù)學教育的舞臺上，出版了《數(shù)學教育技術(shù)的應用與創(chuàng)新研究》、《少年數(shù)學實驗》等書，致力于讓中國的學生得到更好的數(shù)學教育。

數(shù)學教育的危機意識

作為迅速崛起的最大發(fā)展中國家，我們當前的數(shù)學教育存在危機嗎？

2010年，一條關(guān)于教育的新聞引起了國際的廣泛關(guān)注。那就是在國際學生的評估項目（PISA）中，我國上海學生在閱讀、數(shù)學和科學素養(yǎng)三個方面的得分均排名世界第一，遠遠超過了美國（美國數(shù)學排名第12）。

這條新聞在國際上產(chǎn)生了沖擊波。當時，美國的《紐約時報》發(fā)表了題為《上海的高分震驚教育界人士》的文章，說美國教育部部長阿恩·鄧肯看到這個測驗結(jié)果后發(fā)表講話，稱“我們必須當作警鐘”。曾在里根政府時期教育部任職的切斯特·芬恩認為，上海學生高分帶來的震撼讓他想起了當年蘇聯(lián)第一顆人造衛(wèi)星上天。

面對當今中國的崛起，美國時刻保持著警惕。美國人把一個國家的數(shù)學教育與這個國家的競爭實力緊密地聯(lián)系在一起，他們對數(shù)學教育的危機意識應當引起我們思考。我們是否也把數(shù)學教育的重要性提到這個高度去認識呢？

研究科學史的學者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學發(fā)達中心與經(jīng)濟發(fā)達中心在地理上總是相吻合的。當前，中國經(jīng)濟的迅速崛起，正呼喚先進的數(shù)學與數(shù)學教育改革的支撐。1988年，著名數(shù)學家陳省身曾經(jīng)預言：中國在21世紀將成為一個數(shù)學大國。在已經(jīng)進入到21世紀第13年的今天，我們的數(shù)學教育真的超過美國，居于世界前列了嗎？我想，對此我們應該有清醒的認識，有自知之明，并應該以高度的歷史使命感和社會責任感去思考這些問題。

在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，我們不能無視技術(shù)對教育的影響。美國一篇題為《以喬布斯方式變革教育體制》的文章寫道：“我們的孩子在史蒂夫·喬布斯的世界中長大。他們迫切希望學習，而且很快就能接受新技術(shù)。在課堂外，他們視技術(shù)為理所當然——就他們的讀物而言，就他們聽音樂和購物的方式而言。但一回到課堂，就好像時光倒流一般?！弊罱?，網(wǎng)絡(luò)上流傳著一個題為《用計算機重塑數(shù)學教育》的TED演講視頻，演講者Conrad Wolfram認為，目前的數(shù)學教育基本上沒有人感到滿意。學生覺得學習沒有興趣，困難重重，且所學知識與實際無關(guān)；而那些運用數(shù)學的人們又感到他們所學的知識遠遠不夠；盡管政府認為這是涉及經(jīng)濟發(fā)展的大問題，卻束手無策；教師們也為此感到沮喪。這就是當今數(shù)學教育的現(xiàn)實：一方面，我們逐漸喪失對數(shù)學教育的興趣。另一方面，我們的世界比以往更加趨于數(shù)學化，現(xiàn)在的數(shù)學比人類歷史上以往任何時候都更加重要。

反思我國教育的現(xiàn)狀，不難發(fā)現(xiàn)我們的數(shù)學教育其實面臨著同樣深刻的危機。與國外學生比較，我國學生的數(shù)學學習負擔更重。當我們講實現(xiàn)中華民族偉大復興的“中國夢”時，不能沒有數(shù)學教育的危機意識和國際競爭意識。

信息技術(shù)與數(shù)學學科整合的尷尬

面對數(shù)學教育的危機，Conrad Wolfram認為，需要進行一場以計算機作為數(shù)學教育工具的改革，而恰當使用計算機是使數(shù)學教育變得有效的一劑良方。

其實，我國從2001年啟動的基礎(chǔ)教育改革也注意到了信息技術(shù)的作用。《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中有這樣一段話：“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的強有力的工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去?！?/p>

2001年至今，國家為教育信息化投入了大量資金，也已進行了10 多年信息技術(shù)與學科的整合實踐。但是，除了學校的硬件設(shè)施有了明顯改善、教師的信息技能有了部分提高之外，對數(shù)學學科教學本身的影響并不大。有時技術(shù)甚至在幫倒忙。信息技術(shù)與數(shù)學學科整合陷入了尷尬境地。

當前的數(shù)學教育使用技術(shù)的誤區(qū)之一是片面夸大多媒體的作用，以為信息技術(shù)就是多媒體，而多媒體又被解讀為PPT，PPT成為數(shù)學教學中使用計算機最普遍的方式。 但單純使用PPT進行多媒體教學，顯示出計算機在數(shù)學教學中的優(yōu)勢了嗎？現(xiàn)實中，教師們對PPT的不當使用反而可能招致批評：本來常識性的簡單問題通過使用計算機，反而變得愚蠢！再者，教師為上一節(jié)課，準備PPT課件還要花上許多時間和精力。數(shù)學教學和信息技術(shù)本末倒置，數(shù)學課堂為技術(shù)服務(wù)，為體現(xiàn)教育技術(shù)理念服務(wù)，這就造成了所謂的整合追求表面形式，華而不實。

究其原因，一是技術(shù)和數(shù)學學科教學的脫節(jié)，二是理論與數(shù)學教學實踐的脫節(jié)。近十年來，教師們不斷“被接受”最新的技術(shù)和“最時髦”的教育技術(shù)理論。先是多媒體，后是電子白板，現(xiàn)在又是……人們總是不斷追趕著最先進的技術(shù)，但總感覺不解渴。信息技術(shù)與課程整合指導思想倡導“學與教的活動要在以多媒體和網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)的信息化環(huán)境中實施”、“多種刺激的同時作用，有利于激發(fā)學生的學習動機，有利于學生自主性學習”?！岸喾N刺激”對數(shù)學教學真能有那么大的作用嗎？我們逐漸發(fā)現(xiàn)，新的技術(shù)對于數(shù)學教學并不見得是迫切需要，時髦的理論也不見得切合實際。因此，要使信息技術(shù)有效用于數(shù)學教學，技術(shù)必須與學科需求結(jié)合起來，理論必須與學科實踐結(jié)合起來。

數(shù)學家的思考與數(shù)學教育技術(shù)

我想，Conrad Wolfram所開的一劑良方大概不會是PPT或電子白板，他依托的理論也不會是“多種刺激”理論。因為，他是既懂數(shù)學又懂計算機的。而我國著名的數(shù)學家和計算機專家吳文俊院士和張景中院士是這個領(lǐng)域的大家，他們的思考應當引起我們足夠的重視。他們認為：從數(shù)學教學的需要開發(fā)軟件，與不分學科地推廣普適技術(shù)，是兩種完全不同的思路。

計算機的作用應該是用計算機代替人的機械的、大量的、重復性的勞動。從數(shù)學教學的需要設(shè)計、開發(fā)軟件，應該減輕教師重復性的勞動，提高他們的工作效率，讓廣大教師從中受益。早在20世紀70年代，吳院士就提出了數(shù)學機械化的思想，即讓計算機更多地代替人的重復性、機械性的數(shù)學活動，提高科技活動的效率。

在吳老工作的基礎(chǔ)上，張景中院士曾創(chuàng)造性地解決了初等幾何證明的可視化問題，繼而將研究成果轉(zhuǎn)向服務(wù)數(shù)學教育上。張院士認為，數(shù)學教師的日常教學工作離不開數(shù)學活動，經(jīng)常需要做的工作是作圖、計算或推理。教學中數(shù)學活動的主要目的是為了說明思想概念，闡述道理方法，指導操作訓練。比起數(shù)學研究和工程技術(shù)，教學中要解決的數(shù)學問題通常要容易得多，但它要的不僅是最后的結(jié)果和數(shù)據(jù)，而且是生動明白的過程。數(shù)學機械化應該為數(shù)學教育提供這樣的技術(shù)，即數(shù)學教育技術(shù)。國外的《幾何畫板》就屬于這種技術(shù)。

“博采眾長，自主創(chuàng)新，深入學科，注重實效”是張院士提出的我國教育信息化的思路。為此，他主持開發(fā)了《超級畫板》。《超級畫板》不僅具備《幾何畫板》的智能畫圖、動態(tài)測量、軌跡跟蹤、圖形變換、動態(tài)幾何等功能，還提供了機器證明、數(shù)字計算、符號演算等功能，諸如一些復雜的分解因式、排列組合數(shù)的計算、求導數(shù)、求不定積分的運算。當那些枯燥的運算交給計算機之后，數(shù)學教學的重點應該更多轉(zhuǎn)向概念的理解以及根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型這些更有價值的活動上。

我們認為，不應把制作課件的繁復任務(wù)交給教師，教師的精力更應該放在鉆研教材、研究學生和設(shè)計教學活動上。所以，除了這個智能工具箱，還應給教師提供可以直接使用的課件庫。近年來，我們已為教師開發(fā)了上千個課件。就在不久前，張院士和我合作為初中學生寫了《少年數(shù)學實驗》一書，僅與本書配合的課件就有二百多個，讀者可從網(wǎng)上免費下載。

一個數(shù)學智能工具箱、一個豐富的課件庫，我們比Conrad Wolfram更進一步，用實實在在的數(shù)學教育技術(shù)支持數(shù)學教學的變革。

追尋順應時代發(fā)展的數(shù)學教育之夢

數(shù)學教育技術(shù)還包括在數(shù)學教學中使用技術(shù)的理論和策略。汽車司機的駕駛技術(shù)，表現(xiàn)在不同路況、氣象條件和復雜情況下駕馭汽車的能力。數(shù)學教師的數(shù)學教育技術(shù)能力，則表現(xiàn)在面對不同程度的學生，處理幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計等不同內(nèi)容，以及概念教學、命題教學、習題教學等不同課型時，恰當借助計算機機智、有效地教學的能力。如何處理直觀和抽象，如何處理實驗和邏輯，如何處理動手和動腦、人腦和電腦，這在現(xiàn)行的師范院校有關(guān)教材教法的課本中并沒有現(xiàn)成的答案，我們只能探索。下面，我提供幾個典型的案例。

案例一：線段大小的比較

比較線段大小與角的大小是現(xiàn)實生活中常見的問題。我們固然可以用觀察、測量等方法，但在數(shù)學上，我們卻不滿足于觀察和目測。通過抽象和推理，幾何發(fā)展出大量豐富的方法（如通過三角形全等、平行四邊形的性質(zhì)等）。從物理世界的線段和角抽象出幾何中的線段和角，從原始概念導出幾何中一系列后續(xù)概念，以少數(shù)的基本事實為基礎(chǔ)推導出一系列定理，再利用這些概念和定理回過頭來解決實際問題。這就是幾何理性思維的特點。因此，用疊合法定義線段和角的相等，絕不是簡單地介紹疊合法，而是為判定全等三角形的基本事實打基礎(chǔ)。

教學設(shè)計片段：

師：線段大小的比較在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，什么叫相等的兩條線段呢？這似乎不成問題，兩條線段一樣長唄！可問題并不那么簡單，現(xiàn)在考考你的眼力（如圖1）。

圖 1

生：看來似乎AB長一些。

師：再看下面的圖（如圖2），你還認為AB長嗎？

圖 2

生：去掉了原來的四邊形，現(xiàn)在看起來兩條線段一樣長了。

師：不錯，看來有時我們的眼睛會和我們開玩笑。讓我們用測量驗證一下你的眼力。（現(xiàn)場測量）都是5.53cm，看來測量的數(shù)據(jù)證明你的眼力還是不錯的。

學生很得意。

師：可是深一想，測量的結(jié)果準確嗎？現(xiàn)在我們提高一下測量的精確度。

教師現(xiàn)場操作，提高測量精度，顯示如圖3。

圖 3

學生驚奇。

師：這說明測量有誤差，看來憑測量還不能說這兩條線段相等。關(guān)于什么是相等的線段這樣一個看似平常的問題，其實并沒有解決！怎么辦？

學生討論。

師：中國人應該很容易解決這個問題。我們吃飯常使用筷子，用的兩根筷子是等長的嗎？

生：把兩個筷子戳到桌面上一比，不就知道了嗎？

師：我們把這種方法叫疊合法。

教師演示后，在黑板上畫出兩條線段，用數(shù)學語言描述疊合法。

這僅是探索計算機用于幾何教學入門課的一例。計算機的隱藏/顯示功能、現(xiàn)場用不同精度測量的效果，激發(fā)了學生的學習興趣，引發(fā)了學生的數(shù)學思考，最終得到兩線段相等的形式化表述，為以后判定三角形全等的基本事實埋下伏筆。

案例二：函數(shù)的增減性

函數(shù)的增減性刻畫的是函數(shù)的變化趨勢，是函數(shù)最重要的性質(zhì)。目前，初中一般的教學方法是先畫出函數(shù)的圖像，再觀察圖像的走向，指出函數(shù)的增減性。受教學手段的限制，當前的教學存在著嚴重的缺陷。例如，在講解函數(shù)y=ax2的單調(diào)性時，通常先畫出函數(shù)圖像，例如，然后對照圖像指出：當a>0時，y=ax2的圖像在y軸右側(cè)，向右上方無限伸展；在y軸左側(cè)，向左上方無限伸展；因此，當x>0時，y隨著自變量x的增大而增大，當x<0時，y隨著自變量x的增大而減小。最后，教師總結(jié)函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)存在的關(guān)系。

以上教學講沒講道理呢？大概沒有誰會說這樣的教學是不講道理的。可是，我們只看到了形（函數(shù)圖形），并沒有看到數(shù)的變化，“數(shù)形結(jié)合”并不明顯！靜態(tài)的圖像并沒有反映出函數(shù)值的變化，而借助信息技術(shù)可以很容易地實現(xiàn)這一點。例如，對于這個函數(shù)，如圖4所示，從左至右拖動點x，P點以及該點的坐標隨之發(fā)生變化，學生可以直觀地在數(shù)形兩方面體會到函數(shù)的增減性。

圖 4

由于屏幕僅反映了圖像很有限的一部分，當自變量繼續(xù)取很大數(shù)值時，函數(shù)值怎樣變化呢？我們可以通過變量尺，觀察自變量取很大的數(shù)值時函數(shù)值的變化情況（如圖5）。這是用傳統(tǒng)教學手段不可能達到的效果。

圖 5

上面的教學用直觀的方式將猜想的結(jié)論告知給了學生。其實，描出有限幾個點并不能概括函數(shù)圖形的全貌。圖6是同一個函數(shù)圖像的兩幅圖，第一幅圖僅僅是第二幅圖的一部分。

圖 6

可是，我們總不能把整體的函數(shù)圖像畫出來。既然如此，難道一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像就不會出現(xiàn)上述情況？為證實猜想的正確性，最終必須補充嚴謹?shù)倪壿嬜C明。

證明：取自變量大于0 的任意兩個值x1、x2，設(shè)x2>x1，這樣當自變量先取x1，后取x2，如果能證明對應的函數(shù)值y2>y1，就說明函數(shù)值隨著自變量增大而增加。

事實上，y2_y1=a（x22_x21）=a（x2_x1）（x2+x1），由于x2>x1>0，所以x2_x1>0，x2+x1>0，當a>0時，有y2_y1=a（x2_x1）（x2+x1）>0，這就證明了y2>y1。我們用邏輯補充了直觀的不足。

反思當前的教學，直觀與邏輯都顯得不足，缺少了一些數(shù)學理性思維的味道。而計算機使這一內(nèi)容的教學呈現(xiàn)了全新的面貌。

案例三：初識混沌

問題：面包師把1尺長的生面條拉長成2尺，從中點切斷，然后把右半段左移重合到左半段上，原來在生面條上距左端點為x的一粒黑芝麻移動到何處是唯一確定的。如此重復上述簡單的確定動作，n輪之后，這粒黑芝麻在哪里？

對于這個實際問題，第一步是建立抻面的數(shù)學模型，再進行計算。設(shè)原來在生面條上黑芝麻距左端點為 x，經(jīng)過一次抻面，芝麻距離左端y處，則它們之間的關(guān)系可以表示為：

同樣地，對1尺長的生面條進行第二輪的拉伸、左移、重合，那粒黑芝麻距離左端點多遠，當然還是可以用上述分段函數(shù)唯一確定，只是這次的自變量被上一次的 y替代。如此繼續(xù)下去，我們可以重復迭代的過程。

方法明確了，接下來是計算，讓我們在超級畫板中編制一個用條件語句計算分段函數(shù)的小程序，再利用它計算函數(shù)值。先計算f（1），然后不斷反復將其值代入上式進行計算，計算的結(jié)果總是1。這說明那粒黑芝麻如果原來位于生面條的右端，那么不管怎樣拉伸、左移、重合，它還在面條的右端。

現(xiàn)假設(shè)那粒黑芝麻如果原來距離生面條左端處（注意：很靠近右端），然后計算，之后不斷重復，將其值代入上式進行計算。結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，盡管初值相差不多，但后者從第10項開始以后的各項都為零。這說明經(jīng)過10輪的動作，那粒黑芝麻將總處于面條的左端。既然在這么靠近面條右端的點放置的黑芝麻最后“落戶”在面條的左端，這促使我們思考在更靠近右端的位置是否還有這樣的點。例如，在開始距離生面條左端（n是正整數(shù)）的點，是否都具有類似的性質(zhì)？

我們當然可以利用這個小程序進行計算以驗證猜想，但我們不愿意進行多次重復性的操作，這不僅浪費時間，且意義不大。理想的是，在給定初值x和迭代的次數(shù)n之后，能馬上計算出相應的函數(shù)值，這將極大提高數(shù)學實驗的效率。其實，在這個小程序的基礎(chǔ)上加入循環(huán)語句，就可以將這個小程序加以改進，從而更方便地驗證我們的猜想。學生由此可以實實在在地感受到，這個簡單的遞推關(guān)系確定的數(shù)列對初始條件的極端敏感性，哪怕初始值一個極微小的變化，都可以引起數(shù)列本身長期形態(tài)的大的變化，這正是所謂混沌的實質(zhì)表現(xiàn)之一。

此外，我們自然想到，如果初值取其他的數(shù)值，情況又會怎樣呢？利用這個小程序把初值改為、、等，我們將獲得一些非常有趣的結(jié)果，從中享受數(shù)學實驗的樂趣。計算機提供的數(shù)學實驗室，有助于我們深入地認識混沌現(xiàn)象。

以上三個案例說明，我們可以借助計算機重塑數(shù)學教育。在結(jié)束本文寫作之時，剛送來的《參考消息》的一篇文章標題《3D打印技術(shù)或開啟新工業(yè)革命》頓時抓住了我的眼球。文章說：有專家認為，這項技術(shù)或許具有蒸汽機或電話那樣的劃時代意義，很可能預示著新的工業(yè)革命。這更突出了用計算機變革數(shù)學教育的緊迫性。希望更多同仁與我們一起追尋順應時代發(fā)展的數(shù)學教育之夢。

我們必須抓緊，讓夢想盡快變?yōu)楝F(xiàn)實。

（作者單位：北京大學附屬中學）