對(duì)稱性在積分教學(xué)中的一些應(yīng)用

方次軍

【摘 要】本文重點(diǎn)討論了對(duì)稱性在積分計(jì)算上的一些解題技巧和使用方法，并結(jié)合例子加以應(yīng)用說明。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱性；定積分；重積分

在積分教學(xué)的教授中，經(jīng)常遇到積分區(qū)域具備對(duì)稱性的題型。若利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇、偶性，則可以簡化其計(jì)算過程，達(dá)到事半功倍的效果。甚至有些題不用計(jì)算就可直接判斷出其結(jié)果。本文重點(diǎn)討論了利用積分區(qū)域的對(duì)稱性或被積函數(shù)的奇，偶性簡化（定）重積分計(jì)算，然后結(jié)合書本和考試中的一些例子加以說明。

一、定積分的對(duì)稱性

（1）設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù)，則有；

（2）設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)且為偶函數(shù)，則有。

此結(jié)論在計(jì)算定積分時(shí)會(huì)帶來很大的方便。對(duì)于二重積分，在教學(xué)中如下結(jié)論：

二、二重積分的對(duì)稱性

設(shè)在區(qū)域D上連續(xù)，

（1）D關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)：

當(dāng)，則；

當(dāng)；

（2）D關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)：

當(dāng)；

當(dāng)；

（3）D關(guān)于直線軸對(duì)稱時(shí)：

；

（4）D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)：

當(dāng)；

當(dāng)。

以上性質(zhì)可以推廣到三重積分和曲線（面）積分的形式，這里不再累述。

三、例子介紹

例1：計(jì)算積分

解：由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù)，由定積分的對(duì)稱性1可知結(jié)果為0

例2：計(jì)算二重積分

區(qū)域：；

解：將積分區(qū)域分割為四部分：

；

；

；

；

原式：

被積函數(shù)在；

被積函數(shù)在；

奇函數(shù)。

綜上，

例3：計(jì)算二重積分

區(qū)域：

解：積分區(qū)域D關(guān)于直線軸對(duì)稱，由二重積分的對(duì)稱性3，

所以：

原式=

從以上可以看出，對(duì)稱性在積分的計(jì)算中具有非常重要的作用，在教學(xué)中，可告訴學(xué)生，當(dāng)看到積分區(qū)域?qū)ΨQ或函數(shù)有奇偶性時(shí)，就可以思考能用上述的一些結(jié)論，說不定可以起到意想不到的效果。

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