如何證明初中幾何題

白海濤

[摘 要]：初中生拿到幾何題感覺無從下手，不會分析，沒有思路，本文就如何證明幾何題闡述一下簡單的常用方法

[關(guān)鍵詞]：初中 幾何題 方法

很多初中學生剛剛接觸證明幾何題，雖說對于定義，公理和定理能勉強記住，但遇到證明題時卻感到無從下手，往往拿到了一個題目就想證，接著是毫無頭緒地亂想一陣，容易的題目還能僥幸想得出來，稍難一點的題目就要束手無策了。出現(xiàn)這樣問題的原因與學生證明前的準備不足有關(guān)，證題前必須仔細讀題，明白題中所有名詞的定義，完全理解題意，然后分辨出題中哪一部分是題設(shè)，哪一部分是結(jié)論，若原題無圖，則根據(jù)題意畫好符合題意的圖，并標注相應字母，這樣才算完成了基本準備工作，下面的任務是著手研究怎樣著手證明初中幾何題了。

當同學們拿到了一道證明題，而且也做好證題前的一切準備工作，這時就可以開始研究證明的方法思路了。說到怎樣著手證明，決不像我們的算術(shù)有一定法則或代數(shù)有刻板的公式，必須掌握思索問題的方法，逐步去推測、探究，最普通的思索方法就是像醫(yī)生給病人診斷病因一樣，必須先查明病人的癥狀，然后去研究造成這樣的癥狀的原因，可能是哪幾種？再就患病的經(jīng)過和病人的環(huán)境來考察，在這幾種可能的原因中決定是哪一種，假使已經(jīng)斷定病人的病癥是從飲食不慎而引起的，接著就要研究這病是在胃里呢？還是在腸里呢？不是在其它的器官里呢？于是再去找尋證據(jù)，就許多可能的情況分別探究，像這樣，從病人的癥狀出發(fā)，去追求造成癥狀的原因這所在，再逐步分析研究，直到同呈現(xiàn)的一切事項完全符合而止。這種方法通常稱為分析法。

在證明幾何題的時候，分析法是我們常用的方法，它的步驟同醫(yī)生的探索病因幾乎沒有什么兩樣。我們先從題目結(jié)論著想，推測它可以成立的條件，然后就這些重要條件分析研究，看它們的成立必須具備什么條件，這樣逐步逆推，直到所需的條件同題目中的已知事項符合而止。

下面就是一個用分析法證明的例題，已知等腰三角形ABC的底邊是BC，延長一腰AB到D，使BD等于其腰，又取AB的中點E，求證：CD=2CE

分析：

① 要使CD=2CE成立，必須滿足

下列的兩個條件之一：

a.CD的一半長等于CE

b.CE的二倍長等于CD

② 假如使用①中的a，要使 ? CD=CE成立，須平分CD于F，下面再研究是否符合下列的條件之一：

a.CF=CE

b.DF=CE

③ 假如使用②中的a，要使CF=CE成立，又須符合下列許多條件之一：

a.CF和CE是一對全等三角形的對應邊；

b.CF和CE各等于另一線段。

④ 假如使用③中的a，須連BF兩點，使△BCF≌△BCE成立，又須符合下列各條件之一：

a. BF=BE，∠2=∠1，BC=BC（即SAS）

b. ∠2=∠1，BC=BC，∠BCF=∠BCE（即ASA）

⑤ 觀察④中的a、b .....，我們知道只有a是同題目的已知事項符合的。因為BF是△ADC二邊中點的連線，必須等于? AC，又已知AB=AC，BE=? AB，故BF=BE，又因BF必平行于AC，故∠2=∠ACB，△ABC是等腰三角形，故∠1=∠ACB，于是∠2=∠1，至于BC=BC是相等的，故△BCF≌△BCE可以成立，因而CD=2CE也可以成立。

在上面的例中，若改用①b，②b，③b等，也可以推出與已知事項符合，而得到不同的結(jié)論。

我們再看一個生活問題，假如老師給一串鑰匙，讓甲同學去圖書館取一本關(guān)于《幾何原本》的書，甲同學若對圖書館是不熟悉的，要想打開室門，就要從一串鑰匙中逐一嘗試，找出一把，然后再找到放教學書的柜子，再逐步嘗試找出一把開柜的鑰匙，開了門后，又得尋找哪一格是放幾何書的，第幾本才是《幾何原本》，就這樣經(jīng)過了一番周折，才找到了書。這種方法就是上述的分析法。

用這樣的方法解決問題，雖然比較繁，但是符合思索的過程，對于不熟悉這一個問題的解決途徑的人來說，是十分合適的。假如你對這一個問題已經(jīng)有了相當?shù)恼J識，就可以從已知的事項逐步推理，把問題直接解決。假如甲同學把那本書再放回原處，第二次再去取的話，就可以不費周折，立刻取到手了，這樣的方法就叫綜合法。

在幾何證明中由已知事項經(jīng)過推理得到結(jié)論的方法就是綜合法。我們把前面的幾何例題的分析法倒過來書寫，就成了綜合法，我們一般是利用分析法分析問題，而用綜合法寫出證明過程。

分析法和綜合法是我們常用的直接的證題方法，但有時我們還要用到間接的方法來證或證的時候還要通過添加輔助線，從而更好地解決幾何證明問題。

參考文獻：

[1] 《幾何定理和證題》許莼舫

[2] 《初中數(shù)學教學法》