淺談數(shù)學之美

溫雪琴

一、數(shù)學美的含義

我國著名數(shù)學家徐利治指出：“數(shù)學美的含義是豐富的，如數(shù)學概念的簡單性，統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，對稱性，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性與普遍性，還有數(shù)學中的奇異性都是數(shù)學美的具體內(nèi)容。因此我們可以把數(shù)學的美分為結(jié)構(gòu)美、方法美、語言美、邏輯美、非邏輯美、創(chuàng)造美、形態(tài)美、內(nèi)在美、嚴謹美與應用美?！睌?shù)學的結(jié)構(gòu)美是一種內(nèi)在的美，來自各部分的和諧秩序，給人以美的感受。數(shù)學的方法美是指數(shù)學證明方法與思維方法在解決問題時體現(xiàn)出來的美妙以及使人感到愉快的美感并激發(fā)興趣。數(shù)學的語言是—種特殊的語言，它是借助數(shù)字符號把數(shù)字內(nèi)容扼要地表現(xiàn)出來，具有準確性、概括性、有序性、簡單性、通用性。數(shù)學中的邏輯推理是根據(jù)所學過的知識來推導出未知的，無論由已知推向結(jié)果還是結(jié)果反推已知，一步一步的推理，一環(huán)扣一環(huán)的演繹，都是數(shù)學嚴謹?shù)倪壿嬅溃冀o人以破案的神秘感。數(shù)學的非邏輯美是一些自然界現(xiàn)實所概括的一些公理定義，如兩點確定一條直線，SAS等等，并用它們來證明一些問題。數(shù)學的創(chuàng)造美中，不斷地由一問題轉(zhuǎn)向別的問題，進而探索發(fā)展為一門新的數(shù)學分支，如開始只有正數(shù)，后來有了負數(shù)，再后來擴大到了復數(shù)。數(shù)學的形態(tài)美是指數(shù)學美的內(nèi)容的外部表現(xiàn)形態(tài)，即“在數(shù)學理論、圖形之中，或者數(shù)字理論和圖形的相互關(guān)系中，表現(xiàn)這些關(guān)系的定理和公式，所呈現(xiàn)出來的簡單、整齊、對稱和諧的美”。數(shù)學內(nèi)在美是指數(shù)學美的內(nèi)容諸要素的內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)。數(shù)學的應用美是不同的人應用相同的數(shù)學概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服從于同一數(shù)學規(guī)律。如正多邊形鑲嵌成的地板圖案，各種幾何體造型的建筑物，如悉尼大歌劇院。

二、數(shù)學美的特征

隨著社會歷史的發(fā)展，數(shù)學美的概念在不斷的變化和發(fā)展，但數(shù)學美的內(nèi)容和基本特征具有相對穩(wěn)定性，概括起來數(shù)學美的主要特征為：和諧性、簡潔性和奇異性。

1.和諧性是指數(shù)學內(nèi)容的部分與部分，部分與整體之間的和諧、協(xié)調(diào)。

如歐幾里德的《幾何原本》從少量的幾個定義、公理、公設(shè)出發(fā)，按照邏輯規(guī)劃，推論出467個定理。把當時的幾何、代數(shù)知識統(tǒng)一于一個嚴謹?shù)难堇[體系中，井然有序，統(tǒng)一協(xié)調(diào)。在數(shù)學方法上，不同類型的問題可以用不變的思想方法來解決，如初中代數(shù)里高次多元方程可以通過降次消元思想解，異分母的分式相加減借助于同分母的分式相加減來實現(xiàn)。而一些復雜圖形可以采用圖形割補方法化歸為簡單形來解。再如數(shù)學形式和結(jié)構(gòu)的對稱性，數(shù)學解題對稱方法，往往使得解決問題的過程簡潔明快。具體體現(xiàn)在①數(shù)的對稱性：如二項展開式系數(shù)。②式的對稱性：如余弦定理中各個邊之間的互換。③圖形的對稱性：如軸對稱、中心對稱，尤其是圓和球最美最受青睞。因為圓和球它們在各個方向都對稱。因此，圓和球是最完美的圖形。亞里士多德也認為球形是諸天體形狀中最神圣和最完美的形象。④理論的對稱現(xiàn)象，如互逆定理。還有世界上最美最神奇的比例——黃金分割（如果將一條線段分成大小兩段，小段與大段的長度之比恰好等于大段的長度與全長之比）。它的近似比為0.618。大畫家達·芬奇把它稱為“黃金數(shù)”。如人的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。在繪畫或攝影時常常也把中心放在“黃金分割”點上，使畫面給人一種勻稱協(xié)調(diào)、賞心悅目的美感。而弦樂器的琴弦在0.618處彈奏，能使琴聲更加柔美。日常生活中，人們用相似的黃金分割比來設(shè)計書籍的開本；電影電視屏幕，也就是黃金矩形，圖案給人視覺上的美。不變性也是美，千變?nèi)f化的狀態(tài)中存在“以不變應萬變”的不變量與不變式，例如，加法交換律，平方和不變等等。恰當、適度也是一種美，數(shù)學家所追求的充分必要條件，最佳估計，最佳逼近，不多不少及恰當好處等都是一種美的標志。

2.簡潔性是指數(shù)學理論的邏輯結(jié)構(gòu)簡潔，推導、證明書寫的簡捷以及解答形式的簡明，并不是指數(shù)學內(nèi)容本身的簡單。

數(shù)學中的許多定理、公式、證明都充滿著簡單的特征。例如“兩點之間線段最短”，這條公理表述得多么簡練，恰到好處地概括了連接兩點之間不同的線、線段最短的規(guī)律。再如數(shù)學符號的產(chǎn)生和發(fā)展，使得數(shù)學表達形式極其簡單，如求和符號。客觀世界中的許多現(xiàn)象可以歸納為抽象數(shù)學的一個公式、一個方程或一個函數(shù)。例如牛頓的萬有引力定律，愛因斯坦的質(zhì)能公式，內(nèi)容極其豐富。但表達形式又是如此簡單明了等等。簡潔性還是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一，如代數(shù)運算中乘法的引進，乃是為了避免重復的加法運算；乘方的引進，又是為了避免重復的乘法運算，同時表達方式變得更簡單。二進制可以說是從邏輯關(guān)系的簡單性考慮中所引進的結(jié)果；由于追求計算的簡單性，導致對數(shù)的計算法的產(chǎn)生；幾何作圖中，為追求較簡單的作圖工具，引出了“尺規(guī)作圖”；與最簡形式相關(guān)，數(shù)學中規(guī)定了各種標準形式，如曲線方程的標準式。數(shù)學家對追求簡單的數(shù)學美來促進數(shù)學創(chuàng)造，給予了極高的評價，自然規(guī)律常具有一種數(shù)學簡單性，數(shù)學的這種簡單美也正是自然內(nèi)在的秉性。

3.奇異性是指數(shù)學中原有的習慣、法則和統(tǒng)一格局，被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的結(jié)果所帶來的新穎和奇特。

例如對于任意三角形，它們的三條中線總是交于一點，我們看到各種三角形都是如此而并非巧合，顯示了一種奇巧的美。同樣，三角形三條角平分線，三條垂直平分線，三條高也分別交于一點，更進一步認識到即使是最簡單的圖形——三角形也蘊藏的奇異規(guī)律。數(shù)學的一種證明方法——反證法，給人感受的美也是一種奇異的內(nèi)在美。反例的應用往往是對已有的數(shù)學理論的突破，對舊的平衡的破壞和新的平衡的建立，推進了理論的重大發(fā)展。歷史上著名的狄里克萊函數(shù)就反證了周期函數(shù)不一定存在最小正周期。奇異性還往往伴隨著數(shù)學方法的出現(xiàn)，如方程中的換元法、數(shù)列中的拆項求和、幾何中的補形法等積法及數(shù)形結(jié)合思想方法，無不顯示出數(shù)學的較高技巧又神奇魅力所在。正如英國物理學家狄拉克說：“上帝使用了美麗的數(shù)學來創(chuàng)造這個世界！”數(shù)學是美的，數(shù)學是美的科學。