淺談函數(shù)與圖像

馬小玲

【摘 要】函數(shù)作為高中數(shù)學必修課中的重要內(nèi)容之一，借助圖像來研究其概念、性質(zhì)是非常有效的一種數(shù)學學習方法，同時也凸顯出數(shù)形結(jié)合思維的重要性。學習函數(shù)必須立足于函數(shù)的基本概念和基本原理，深入訓練和加強對函數(shù)圖像的認識，才能夠做到對高中數(shù)學函數(shù)題目游刃有余。一旦學生擁有了對函數(shù)專題比較自信的習慣，那么對于高中數(shù)學的教學而言，就已經(jīng)成功了一半。本文重點探討高中數(shù)學教學過程中，針對函數(shù)及其圖像的思考。

【關鍵詞】高中數(shù)學；函數(shù)；圖像

回顧數(shù)學史，我們能夠清晰地看到早在十七世紀的時候就誕生了log以及sin等基本的對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，在數(shù)學長河的發(fā)展中，函數(shù)一直成為歷代數(shù)學家研究和探討的重要對象，因此，高中數(shù)學的學習與教學過程中，把握好函數(shù)的教授是至關重要的，不僅僅因為函數(shù)作為一條重要知識點脈絡貫穿了整個中學數(shù)學，還因為學習函數(shù)及其圖像，能夠有效地聯(lián)系數(shù)學各個章節(jié)的內(nèi)容，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維和數(shù)學習慣。

一、函數(shù)的生活背景

在當下科技日益發(fā)展和社會日益進步的時代，我們無時無刻不在面對和應用函數(shù)，也許大家并不是十分在意，其實函數(shù)在所有人的生活背景中出現(xiàn)并且擔當著非常重要的角色。

當人們炒股的時候，會不斷地查看和分析股票交易圖形，這便是最為基礎的函數(shù)圖像；當人們買彩票的時候，也會觀察和討論彩票中獎概率圖，這也是一種函數(shù)圖像；當房地產(chǎn)的價格總覽表公布的時候，大家依然會發(fā)現(xiàn)這是一幅形狀不規(guī)律的函數(shù)圖像。各種各樣的圖表更是頻頻映入眼中，出租汽車里程與計價之間就是一種函數(shù)關系。還有銀行的存款與利息之間的關系等等，都可見函數(shù)的重要社會作用。

其實生活中處處有函數(shù)，人們的生活時時刻刻都離不開函數(shù)圖像。因此，了解和掌握函數(shù)的概念以及原理，借助函數(shù)圖像了解函數(shù)的性質(zhì)是中學生必須掌握的一項數(shù)學技能。

二、函數(shù)的圖像與性質(zhì)

高中階段學習和研究的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，包括三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，這些函數(shù)的學習過程中，將其圖像畫出并且通過函數(shù)圖像來了解其性質(zhì)，是高中階段函數(shù)教學的一個重要特點。教師在教學的過程中往往是讓學生先認識和理解函數(shù)解析式，即掌握概念，之后教師要求學生通過描點或者根據(jù)函數(shù)的特征畫出草圖，最終分析函數(shù)的性質(zhì)。當然有的時候是通過定性分析性質(zhì)之后，做出準確的圖像。

通過函數(shù)圖像我們往往能夠研究函數(shù)值y隨著自變量x的變化情況，解決如下幾個問題。

（1）當x增大時函數(shù)值增大嗎？

（2）當x在它的變化范圍內(nèi)變化時，函數(shù)值能保持在有限范圍嗎？

（3）函數(shù)的圖像是關于y軸或原點對稱嗎？

（4）函數(shù)值隨著自變量的變化是周而復始的周期變化嗎？這樣的問題即所謂函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性。

三、函數(shù)的思想方法

學好函數(shù)的精髓就是學會運用函數(shù)的思想來思考并解決數(shù)學問題，以下總結(jié)了幾大類函數(shù)的思想方法。

（1）變換與對應的思想。函數(shù)總是有三個元素：定義域、自變量和函數(shù)，而自變量的變化總會有函數(shù)的變化來與其對應，這就是我們強調(diào)的變換與對應的思想，因此在研究函數(shù)圖像的過程中，一定要注意一一對應關系。

例如求方程log2（x+4）=3x的實根的個數(shù)。

一旦畫出y=log2（x+4）與y=3x的圖像，兩圖像的交點數(shù)就是實根的個數(shù)就會很明顯得到2個。

（2）構(gòu)造性思想。往往在高中數(shù)學解題過程中，我們會強調(diào)構(gòu)造函數(shù)的解法，其實當出現(xiàn)一些類似于函數(shù)模型的題目的時候，一定要注意運用構(gòu)造函數(shù)的思想來解決，這種方法往往能夠起到事半功倍的效果。

例設四次多項式u=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c為常數(shù)，當x=1，2，3時u的值也相應等于1，2，3當x=4時，u=p，當x=0時，u=q.求：p+q的值。

解： 根據(jù)條件特征可以構(gòu)造函數(shù)，y=u-x=x4+ax3+bx2+（c-1）x+d，由于x=1，2，3時，u=1，2，3，則方程u-x=0，

一定有根1，2，3又由于y=u-x是四次多項式，

∴y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-r），

由y=4時u=p得 p-4=24-6r

由x=0時，u=q

解得 q=6r故得p+q=28.

（3）數(shù)形結(jié)合思想。對函數(shù)的研究不僅僅通過解析式，也能通過圖像來考慮。例如，用畫函數(shù)圖像的方法解不等式：

-2x+3<3x-7.

由一次函數(shù)與一元一次不等式的關系可先將其化為一般形式，再畫圖求解。也可以將-2x+3與3x-7.看作是兩個關于x的一次函數(shù)即y1=-2x+3，y2=3x-7，

于是不等式的解集即對應著y10，畫出直線y=5x-10，可以看出x>2時這條直線上的點在x軸上方。即這時y=5x-10>0，所以不等式的解集為{x│x>2}.

函數(shù)是高中數(shù)學中很重要的一部分內(nèi)容，它實用且貫穿性強，通過函數(shù)的學習可以滲透和貫穿到學習數(shù)、式、方程、不等式、數(shù)列等其他高中數(shù)學基礎知識。本文在筆者教授高中數(shù)學的實踐中總結(jié)的些許經(jīng)驗，也許對于函數(shù)的各個方面的研究還不夠全面，希望廣大同仁們能夠在授課之余多多總結(jié)互相探討。

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