問(wèn)題引路，“動(dòng) ”中生智

陸業(yè)春

【摘要】近年來(lái)，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在各地中考試卷中多有出現(xiàn)，有些試卷將動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題當(dāng)作壓軸試題來(lái)考查學(xué)生，顯示出動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題對(duì)考查學(xué)生能力的重要性.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“變”與“不變”、“一般”與“特殊”的辯證關(guān)系，現(xiàn)以近年來(lái)中考試題為例，進(jìn)行分類說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】中考；動(dòng)態(tài)；數(shù)學(xué)

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型

例1 （2011年河南）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t>0），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.

（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 （1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t.

又 ∵AE=t，∴AE=DF.

（2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又 AE=DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形.

∵AB=BC·tan30°=53×33=5，∴AC=2AB=10.

∴AD=AC-DC=10-2t.

若使四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD.即t=10-2t，t=103.

即當(dāng)t=103時(shí)，四邊形AEFD為菱形.

（3）①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形.

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.

即10-2t=2t，t=52.

②∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠B=90°-∠A=60°，∴AD=AE·cos60°.

即10-2t=12t，t=4.

③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在.

綜上所述，當(dāng)t=52或4時(shí)，△DEF為直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題主要考查單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和雙質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，本題是一道典型的雙質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)類幾何問(wèn)題，在解決此類問(wèn)題時(shí)要搞清楚以下幾點(diǎn)：一是質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中抓住圖形中的變量與常量；二是運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用其中的變量t，來(lái)表示圖形中的其他變量；三是抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，建立方程、函數(shù)、不等式（組）等數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

二、線段（直線）運(yùn)動(dòng)型

例2 （2011年江蘇無(wú)錫）如圖，已知O（0，0），A（4，0），B（4，3），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度，沿△OAB的邊0A，AB，B0做勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向做勻速平移運(yùn)動(dòng).若它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時(shí)t的取值范圍；

（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線l分別與OA，OB交于C，D，試問(wèn)：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并說(shuō)明如何改變直線l的出發(fā)時(shí)間，使得四邊形CPBD會(huì)是菱形.

解 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t，0），直線l從AB位置向x軸負(fù)方向做勻速平移運(yùn)動(dòng)時(shí)與x軸交點(diǎn)為F（4-t，0）.

∵圓的半徑為1，∴要直線l與圓相交即要PF<1.

∴當(dāng)F在P右側(cè)，PF的距離為4-t-3t<1t>34.

當(dāng)F在P左側(cè)，PF的距離為3t-4-t<1t<54.

∴當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時(shí)t的取值范圍為34 （2） 當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線l分別與OA，OB交于C，D，四邊形CPBD不可能為菱形.

依題意，得：AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t.

∵CD∥AB，∴CDAB=OCOA，

即CD3=4-t4，解得：CD=34（4-t）.

由菱形的性質(zhì)，得：CD=PB.

即34（4-t）=7-3t，解得：t=169.

又PC=PB=7-3t，將t=169代入PA2+AC2=（3t-4）2+t2=40081，PC2=（7-3t）2=259，∴PA2+AC2≠PC2，∴不能構(gòu)成菱形.