中考中現(xiàn)實(shí)類試題幾例淺析

丁曉梅

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，對數(shù)學(xué)的學(xué)以致用的現(xiàn)實(shí)意義要求越來越重要，與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的考題也出現(xiàn)得越來越普遍，由于任何客觀對象都有其空間形式和數(shù)量關(guān)系，因而從理論上說以空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對象的數(shù)學(xué)可以應(yīng)用于客觀世界的很多領(lǐng)域.

應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中的問題，不但首先要提出問題，并用明確的語言加以表述，而且要建立數(shù)學(xué)模型，還要對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，對數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評價(jià).也就是說，數(shù)學(xué)之應(yīng)用，它不僅表現(xiàn)為一種工具，一種語言，而且是一種方法，是一種思維模式.根據(jù)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性特點(diǎn)，要解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題，就要建立和操作數(shù)學(xué)模型，以及進(jìn)行檢驗(yàn)和評價(jià).

下面我們就以幾例來觀察、實(shí)踐操作、感受一下選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型即可實(shí)現(xiàn)輕松解題：

一、建立數(shù)學(xué)模型將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決

這類試題往往基于二維平面或三維空間的實(shí)際生活中與物體的高低、長短、遠(yuǎn)近有關(guān)的計(jì)算類題目，用數(shù)形結(jié)合方法，通過添加垂線段得到直角三角形，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

例1 某學(xué)校體育場看臺的側(cè)面如圖陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階.已知看臺高為1.6米，現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長為1米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的底端分別為D，C），且∠DAB=66.5°.

（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH；

（2）求所用不銹鋼材料的總長度l（即AD+AB+BC，結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）

分析 （1）易見D點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為三級臺階的高度.

（2）關(guān)鍵：分別求出三條線段AD，AB，BC的長度.而AD=BC=1米，故只需求出線段AB的長度.如圖，過點(diǎn)C畫水平線交AD的延長線于點(diǎn)H，過B作BM⊥AH于M，可得矩形BCHM和直角△ABM.由題意易見AD=BC=MH=1米，每級臺階的高度0.4米，AM=AH-MH=2.2-1=1.2（米）（或者AM=AH-MH=AH-1=AH-AD=DH=1.2米），在直角△ABM中，已知一邊和一角，則只需選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)即可求出AB的長度.

解 （1）DH=1.6×34=1.2（米）.

（2）過B作BM⊥AH于M，則四邊形BCHM是矩形，MH=BC=1.∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2. 在Rt△AMB中，∵∠A=66.5°，∴AB=AMcos66.5°≈1.20.40=3.0（米）.∴s=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0（米）.

答：（1）點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH為1.2米.

（2）所用不銹鋼材料的總長度約為5.0米.

說明：（1）這里所給的三個(gè)銳角三角函數(shù)不一定全用上，只要選用你所需要的即可.

（2）在與實(shí)際問題有關(guān)的計(jì)算題中，很多時(shí)候都要按要求取近似數(shù).

二、列出分段函數(shù)解決分類討論問題

這類題如水費(fèi)、電費(fèi)、電話費(fèi)、手機(jī)費(fèi)、出租車費(fèi)、旅游費(fèi)、稅收、生產(chǎn)中供需關(guān)系等.

解題關(guān)鍵：（1）注意分界點(diǎn)；（2）注意所給的變量的值分別對應(yīng)哪個(gè)變量，分別對應(yīng)哪個(gè)函數(shù)表達(dá)式中的哪個(gè)變量.

例2 某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)方法按月計(jì)算每戶家庭的水費(fèi)，月用水量不超過20 m3時(shí)，按2元/m3計(jì)費(fèi)；月用水量超過20 m3時(shí)， 其中的20 m3仍按2元/m3收費(fèi)，超過部分按2.6元/m3計(jì)費(fèi).設(shè)每戶家庭月用水量為x m3時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)y元.

（1）分別求出0≤x≤20和x>20時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）小明家第二季度交納水費(fèi)的情況如下：