基于類比思維的高中數(shù)學解題方法研究

楊建仁

【摘要】通過兩則類比數(shù)學題的分析、解答與點評，具體闡釋了類比思維方法在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】類比思維；高中數(shù)學

一、引 言

自從人教版的數(shù)學新課標教材在全國范圍內(nèi)廣泛試用后，數(shù)學思維的拓展越來越成為高中數(shù)學教育的重點.數(shù)學思維是傳統(tǒng)數(shù)學研究方式的深化，它蘊含了數(shù)學解題中的探索性思考方式，由于新課標的出現(xiàn)，數(shù)學思維在高中數(shù)學教育中也出現(xiàn)一定程度的更新.類比思維是高中數(shù)學教育中的一個重點，它是建立在探究性數(shù)學研究的基礎(chǔ)上的，在數(shù)學教育中灌輸給學生良好的類比思維方式，可以有效引導學生去觀察數(shù)學事理中的異同點，有助于學生開展創(chuàng)造性研究，積極發(fā)現(xiàn)問題，并努力認識問題.通俗地講，類比思維就是運用一定的邏輯思維，將兩種事物進行比較，尋找事物之間存在的異同點，它可以使學生的思維得到拓展，不斷調(diào)動學生學習數(shù)學知識的積極性，并提升學生的數(shù)學解題能力.

二、類比思維可以加強數(shù)學解題中對于新舊知識的對比

在高中數(shù)學題中，類比形式的題型約占所有題型的1/3之上，而有些題型雖然看似非類比式題型，但實際上也可以通過類比思維進行解答，而且運用類比思維的解題速度也可能會提高.運用類比思維解答高中數(shù)學題，一個重要的優(yōu)勢在于它可以加強學生將新知識與舊知識進行聯(lián)系，這樣便促進了數(shù)學教學內(nèi)容的不斷豐富和深化.在一堂內(nèi)容豐富的數(shù)學課上，學生的創(chuàng)造性思維就會被激發(fā)出來，在不斷鞏固學生基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，可以在學生腦海里構(gòu)筑自己的知識結(jié)構(gòu)框架.

下面以一則數(shù)學實例對類比思維的這種優(yōu)點做具體解釋，數(shù)學實例的題材為數(shù)列.在數(shù)列題中，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間無論是定義還是通項公式都非常相似，因此我們可以運用類比思維考查等差數(shù)列，從而探究等比數(shù)列的性質(zhì).

例1 假設(shè)數(shù)列{an}與{bn}都是無窮數(shù)列，問題如下：

（1）現(xiàn)設(shè){an}與{bn}都是等比數(shù)列，通過兩個數(shù)列的某種運算得到新數(shù)列{an + bn}，{anbn}，那么，這兩個新數(shù)列是否也都是等比數(shù)列？如果是，分別求出它們的通項公式和前n項和的公式；如果不是，請說明理由.

（2）請類比（1），并根據(jù)等差數(shù)列提出有關(guān)命題，寫出等差數(shù)列的前n項和的公式，用含有首項和公差的形式表示.

分析 （1）解答第一問，我們需從兩個數(shù)列的公比入手，根據(jù){an + bn}和{anbn}是否存在公比即可判定它們是否屬于等比數(shù)列.在判定屬于等比數(shù)列以后，我們也必然知道它們的公比，于是根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可解得前n項和的公式.

（2）首先討論兩個新數(shù)列的性質(zhì)，然后從等比數(shù)列的乘類比到等差數(shù)列的和，討論其公差是否為零，從而求得等差數(shù)列的通項公式，于是前n項和公式便迎刃而解.

解 （1）設(shè){an}和{bn}的公比分別為q1和q2，又設(shè)cn=an+bn，于是有cn2-cn+1cn-1=（a1q1n-1+b1q2n-1）2-（a1q1n+b1q2n）·（a1q1n-2+b1q2n-2）.

當q1=q2時，任對一個自然數(shù)n，且n大于等于2，cn2=cn+1·cn-1恒成立，因此有{an+bn}為等比數(shù)列，且其公比即為q1；

當q1=q2=1時，前n項和公式為Sn=n（a1+b1）；

當q1=q2≠1時，前n項和公式為Sn=（a1+b1）·（1-q1n）/（1-q1）.

但當q1不等于q2時，任對一個自然數(shù)n，且n大于等于2，有cn2不等于cn+1cn-1，因此{an+bn}不是等比數(shù)列.

又設(shè)dn=anbn，任對一個自然數(shù)n∈N+，有dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，所以數(shù)列{anbn}為等比數(shù)列，且公比為q1q2.

當q1q2=1時，前n項和公式為Sn=n（a1b1）；

當q1q2不等于1時，前n項和公式為Sn=a1b1·（1-q1nq2n）/（1-q1q2）.

（2）觀察（1）中{an+bn}、{anbn}的公比性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)有乘積形式的數(shù)列{anbn}的公比為q1q2，即原數(shù)列的公比之積，而首項也是原數(shù)列首項之積；{an+bn}的首項為（a1+b1），當存在公比時，其公比恰好為原數(shù)列的公比.

設(shè){an}和{bn}都是等差數(shù)列，其公差分別為d1，d2，于是推測：

Ⅰ.{an+bn}為等差數(shù)列，且公差為d1+d2，前n項和公式為Sn=（a1+b1）·n+n（n-1）（d1+d2）/2.

當d1，d2至少存在一個為零時，{anbn}也為等差數(shù)列，若d1=0，則Sn=a1b1n+n（n-1）·a1d2/2；若d2=0，則Sn=a1b1n+n（n-1）·b1d1/2.

Ⅱ.當d1，d2都為零時，{anbn}不是等差數(shù)列.

點評 例1主要考查了數(shù)列題的類比推理，其中主要涉及了等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的性質(zhì)轉(zhuǎn)換，在類比推理的過程中，主要涉及等比數(shù)列類推到等差數(shù)列時關(guān)于公比和首項之間的推理對應(yīng)，但總體而言，該題屬于基礎(chǔ)性類比推理題.

三、類比推理思維可以促進數(shù)學知識的條理化

數(shù)學是一個不斷積累邏輯思維的過程，這要求學生將已學知識進行有條理地整合，促進學生對數(shù)學知識的理解并不局限于量的增加，而是質(zhì)的提升.下面通過一則類比推理的例子，說明類比推理思維在促進數(shù)學知識條理化中的重要意義.

例2 如圖所示，ABC-A1B1C1為一斜三棱柱，點P為ABC-A1B1C1其中一條側(cè)棱BB1上的任意一點，過點P分別作垂線PM垂直于AA1，PN垂直于CC1，垂足分別為M，N，連接MN.

（1）證明：MN垂直于CC1；

（2）任給一個△DEF，存在如下余弦公式：DE2=DF2+EF2-2·DF·EF·cos∠DFE.現(xiàn)將此公式拓展到空間圖形，類比平面三角形的余弦定理，推測斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并給出相應(yīng)證明.

分析 （1）在斜三棱柱中，有CC1平行于BB1和AA1，欲證MN垂直于CC1，即CC1垂直于MN，我們可從CC1垂直于MN所在平面PMN入手，若CC1垂直平面PMN得證，則必有該題結(jié)論成立.

（2）該題的第二問主要考查平面中三角形的余弦定理在空間圖形中的推廣，其中聯(lián)系的線索為余弦定理.在空間立體幾何中，還考查了學生對二面角的熟悉程度和應(yīng)用.這里的類比主要是從平面中的線類比到空間中的面，兩條線的交角類比到空間兩個面所成二面角.利用第一問的結(jié)論，對于余弦公式PM2=MN2+PN2-2·MN·PN·cos∠PNM，兩邊同乘以CC12即可得到斜三棱柱三個側(cè)面的面積，于是得證.