逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

潘政顯

一、前 言

簡(jiǎn)而言之，倒推即為逆向思維，即通過(guò)分析命題的結(jié)論，尋求結(jié)論成立的條件.高中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，很多用順推法不易找到問(wèn)題的解決方法，采用逆向思維，根據(jù)要得到的結(jié)論可以較為簡(jiǎn)單地得到解決問(wèn)題的方法，從而得出問(wèn)題的答案.

作為數(shù)學(xué)思維重要原則之一的逆向思維，是創(chuàng)造思維的重要組成，用逆向思維解決問(wèn)題，通?？梢垣@取意想不到的結(jié)果.本文結(jié)合實(shí)例探討逆向思維在求解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用.

二、公式、定理、定義的逆用

1.逆用公式

在數(shù)學(xué)中，存在著大量的公式，熟記數(shù)學(xué)公式是十分必要的，但是對(duì)于公式不能單一地背，應(yīng)該對(duì)公式進(jìn)行理解，全面地掌握公式，對(duì)關(guān)系式進(jìn)行變式練習(xí)，逆用公式可以鍛煉學(xué)生思維的敏捷性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式掌握的熟練程度，提高解題技巧.

2.逆用定理

對(duì)于定理的逆命題，不是所有的都正確，但是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證逆命題是否正確，是一個(gè)有效指導(dǎo)學(xué)生研究新問(wèn)題的方法，可以有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和正確運(yùn)用定理解題的能力.

例如 實(shí)數(shù)l，m，n，滿足m-n=8，且mn+l2+16=0，求證：m+n+l=0.

分析 用順推法直接求得l，m，n的值，運(yùn)算量很大且容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，簡(jiǎn)單的方法是用韋達(dá)定理的逆定理.

證明 由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，則m，-n即為一元二次方程x2-8x+l2+16=0的兩個(gè)根.又因?yàn)閙，-n為實(shí)數(shù)，所以，Δ=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得-4l2≥0，所以l=0，則m，-n即為一元二次方程x2-8x+16=0的兩個(gè)根，解得m=-n=4，則有m+n+l=0成立.

3.逆用定義

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，使用定義法是十分常見(jiàn)的，但是人們往往忽視定義的逆用，逆向應(yīng)用定義，可以幫助我們快捷地解答問(wèn)題.

例如 通過(guò)對(duì)|1-x|-|x-4|進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到2x-5的結(jié)果，求x的取值范圍.

分析 根據(jù)題意，可得|1-x|-|x-4|=2x-5，從絕對(duì)值概念的反方向進(jìn)行考慮，可以得到以下條件：1-x≤0以及x-4≤0，解不等式組可得1≤x≤4，則x的取值范圍為1≤x≤4.

三、逆向分析

在進(jìn)行解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，通常通過(guò)條件一步一步推得必要條件，最終得到結(jié)論.但是對(duì)于該類方法，不適用于所有的題目，一部分題目如果從條件入手，則會(huì)不知道從哪下手，根據(jù)正難則反的原則，進(jìn)行逆向思考.從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，一步一步逆推到充分條件，最終得到題目給的條件或者有關(guān)的結(jié)論.通常我們將此稱之為分析法，多用于證明不等式的成立以及幾何中的分析論證等.

執(zhí)果索因是分析方法的實(shí)質(zhì)，通過(guò)找使得結(jié)論成立的充分條件證明結(jié)論的成立，廣泛應(yīng)用于證明題中，體現(xiàn)了逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

四、反面求證

反面求證包括兩種，即針對(duì)題目結(jié)論而逆以及針對(duì)題目條件而逆.針對(duì)題目結(jié)論而逆是通過(guò)證明結(jié)論的反面是錯(cuò)誤的，從而得到結(jié)論是正確的，在這里，應(yīng)該注意，運(yùn)用反證法解決的問(wèn)題通常是否定形式出現(xiàn)的.證明結(jié)論的反面成立，得到與公理、題設(shè)以及定義等相互矛盾的命題，即為反證法，從而可以推翻假設(shè)，肯定結(jié)論的正確性.反證法簡(jiǎn)化了很多問(wèn)題.

針對(duì)題目條件而逆，通常，我們不能改變題目的條件，但是，我們可以通過(guò)兩次改變，是條件回到原點(diǎn)的方式進(jìn)行某些問(wèn)題的處理，此方法適用于復(fù)雜的題目條件，以及由題目條件直接求解較為困難時(shí)，可在與原條件相反的情況下求解，得到結(jié)果后，再將其逆化處理，則可得到原題條件下的結(jié)果.

五、針對(duì)常規(guī)方法而逆

對(duì)于常規(guī)的解決問(wèn)題的方法，我們很熟悉，但是如果采用常規(guī)方法時(shí)，解決問(wèn)題不是特別順利，則需要我們采用非常規(guī)的方法，簡(jiǎn)化運(yùn)算難度.

六、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的方法

1.加強(qiáng)認(rèn)識(shí)定義的內(nèi)涵，重視定義的逆用

盡管某些學(xué)生可以背熟書(shū)上的定義，但是改變敘述方式后，則學(xué)生就不能熟練地應(yīng)用了，所以在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生對(duì)定理的理解應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練.

2.逆向思維的靈感需要通過(guò)公式互逆來(lái)培養(yǎng)

實(shí)踐證明，公式逆用是解決問(wèn)題的重要方法，通過(guò)公式的逆用訓(xùn)練，可以提高學(xué)生思維的靈活性以及提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的靈活性.熟練掌握可逆定理、可逆法則等可逆資源，可以使得學(xué)生的知識(shí)更加融會(huì)貫通，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性.

3.加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，提高學(xué)生的綜合能力

這就要求教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)中，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中貫穿逆向思維的方法，通過(guò)習(xí)題對(duì)學(xué)生的逆向思維進(jìn)行訓(xùn)練.主要可以采取以下方式：采用直觀的教學(xué)方法，提高學(xué)生逆向思維的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)；在教學(xué)過(guò)程中不斷滲透逆向思維的方法，使得逆向思維的方法深入人心.但是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生不是所有的問(wèn)題都適合逆向思維，應(yīng)該根據(jù)具體的問(wèn)題選擇合適的解題方法.

七、小 結(jié)

作為人類思維重要形式之一的逆向思維，是解決某些問(wèn)題的快捷方法，同時(shí)培訓(xùn)學(xué)生的逆向思維不僅完善教學(xué)理念，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率有重要意義.通過(guò)逆向思維的運(yùn)用，可以有效地完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生的視野得到開(kāi)拓，提高教師的教學(xué)效率，學(xué)生的創(chuàng)造思維得到開(kāi)發(fā)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性.