學(xué)做創(chuàng)·玩幾何

陳軍 盧建華

【課例回放】

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，提出猜想

師：魔方中蘊(yùn)含著神奇的幾何知識(shí)，想一探究竟嗎？

教師依次出示圖片，并詢(xún)問(wèn)體積大?。ㄈ缦聢D所示，每個(gè)小魔方體積為1 cm3）

師：要想知道長(zhǎng)方體體積是多少，只要——

生：看長(zhǎng)方體包含多少個(gè)體積單位。

師：能一下子說(shuō)出這個(gè)正方體的體積嗎？（如右圖所示）

生：5×5×5=125 cm3。

師：猜想一下，長(zhǎng)、正方體的體積可能與什么有關(guān)？什么關(guān)系？

生：與它的棱長(zhǎng)有關(guān)，長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高，正方體體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

師：是這樣嗎？我們一起來(lái)研究。

二、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，建立模型

師：拿出準(zhǔn)備的1 cm3小魔方，分組實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一：用12個(gè)1 cm3小魔方拼成形狀不同的長(zhǎng)方體，驗(yàn)證長(zhǎng)方體體積與長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系?？凑l(shuí)拼的方法多？

實(shí)驗(yàn)二：選若干個(gè)1 cm3小魔方拼成形狀不同的長(zhǎng)、正方體，思考如何計(jì)算長(zhǎng)、正方體體積？如有困難，一起討論。

教師巡視，參與合作，啟發(fā)引導(dǎo)，調(diào)控進(jìn)程。操作實(shí)驗(yàn)二時(shí)，有學(xué)生舉手。

師：有什么問(wèn)題嗎？

生：我們組想拼一個(gè)大一點(diǎn)的長(zhǎng)方體，可小魔方個(gè)數(shù)不夠。

師：不夠？那怎么辦呢？

生：兩個(gè)小組合用。

生：我們想拼一個(gè)很大的長(zhǎng)方體，兩個(gè)小組合起來(lái)也不夠。

師：那該怎么辦？動(dòng)腦再想想？

師：誰(shuí)愿和全班同學(xué)交流一下長(zhǎng)方體體積和長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系？

生：我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)就是每排塊數(shù)，寬就是排數(shù)，高就是層數(shù)。長(zhǎng)方體體積就是體積單位的個(gè)數(shù)，長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。（表略）

生：正方體棱長(zhǎng)都相等，因此，正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

生：用字母表示——V=abh，V=a3。

生4：我們還發(fā)現(xiàn)——長(zhǎng)方體體積=底面積×高。（推理如右圖所示）

師：老師很想知道，剛才有同學(xué)說(shuō)小魔方不夠，怎樣解決的？

生：我們把一些位置空出來(lái)，但在大腦中創(chuàng)造一個(gè)完整的長(zhǎng)方體。（如圖所示）

三、拓展應(yīng)用，解決問(wèn)題

小達(dá)想用一塊長(zhǎng)10 cm、寬8 cm的長(zhǎng)方形紙板做一個(gè)無(wú)蓋盒子（不考慮接縫）。如果按照右圖那樣切掉4塊相同的小正方形，再沿虛線(xiàn)折疊即可。但這樣浪費(fèi)了4塊小紙板。如果不浪費(fèi)材料，可把原紙板進(jìn)行切割，再折疊成一個(gè)無(wú)蓋盒子。

請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)制作圖，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)。比一比，看誰(shuí)設(shè)計(jì)的盒子體積最大？

師：誰(shuí)愿向全班同學(xué)介紹一下你的創(chuàng)意？盒子的體積是多少？

全班出現(xiàn)多種意想不到的創(chuàng)意（如下圖所示）。

【透視解析】

一、以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，在游戲中學(xué)習(xí)，為課堂增添活力

學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道的即為經(jīng)驗(yàn)，它是兒童認(rèn)知的基礎(chǔ)。課程標(biāo)準(zhǔn)把“幾何課程”先后更名為“空間與圖形”“圖形與幾何”，其實(shí)也是幾何學(xué)科體系對(duì)兒童經(jīng)驗(yàn)的適度妥協(xié)。因?yàn)椤敖?jīng)驗(yàn)”是有力量的，經(jīng)驗(yàn)的積聚可有效增添認(rèn)知活力。兒童的思維正處在由直觀形象為主向抽象邏輯為主的過(guò)渡階段，這與人們最早在生活實(shí)踐中認(rèn)識(shí)幾何圖形的過(guò)程相一致。借助觀察、感知、操作、思考，研究現(xiàn)實(shí)生活中物體幾何屬性與變換，以圖形為重點(diǎn)，知覺(jué)其方向、距離、大小、形狀等元素，能有效激活兒童大腦中的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，對(duì)接生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)科知識(shí)，在空間直覺(jué)基礎(chǔ)上形成大腦表象，主動(dòng)建構(gòu)對(duì)客觀圖形世界的認(rèn)識(shí)。課例中，教師充分認(rèn)識(shí)到幾何知識(shí)來(lái)源于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，基于兒童現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。魔方中既有長(zhǎng)方體也有正方體，可拆可裝、可拼可組。本是玩具，借作學(xué)具，順應(yīng)了兒童的天性。

二、以操作為核心，在思考、操作中體顯張力

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，并不是一味識(shí)記圖形的名稱(chēng)、形狀、性質(zhì)、公式，而是通過(guò)具體的操作活動(dòng)去感知、發(fā)現(xiàn)，最終建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。因此，空間觀念的建立只靠觀察是不夠的，還必須進(jìn)行具體的操作活動(dòng)，在搭、折、剪、拼、量、做、畫(huà)等過(guò)程中，視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、觸覺(jué)等多種感官配合大腦思考全方位協(xié)同運(yùn)作，形成相應(yīng)的空間表象，完成對(duì)具體對(duì)象的抽象，建立和發(fā)展空間觀念。課例中，教師順應(yīng)兒童愛(ài)玩好動(dòng)的天性。設(shè)計(jì)兩個(gè)層次實(shí)驗(yàn)，一是拼指定體積形狀不同的長(zhǎng)方體，驗(yàn)證猜想，初步建立公式模型；二是自選小正方體個(gè)數(shù)拼體積不同的長(zhǎng)方體，進(jìn)一步深化對(duì)模型關(guān)系的認(rèn)識(shí)。開(kāi)放的空間、時(shí)間，顯得韌性而有張力。因?yàn)閷W(xué)生獲得知識(shí)的過(guò)程不是一蹴而就的，需要在反復(fù)實(shí)踐中不斷修正、深化。兩次動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的思維不斷地向縱深處漫溯，有效地發(fā)展空間觀念。

三、以想象為關(guān)鍵，在操作中發(fā)展?jié)摿?/p>

想象是數(shù)學(xué)思維的基本要素，是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)。各種數(shù)學(xué)新觀念的產(chǎn)生過(guò)程，或多或少都有想象的介入。學(xué)生通過(guò)想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置、距離的表象，在大腦中建立沒(méi)有大小的點(diǎn)、沒(méi)有粗細(xì)的線(xiàn)、沒(méi)有厚薄的面等概念表征。幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中，空間想象是兒童重要的學(xué)習(xí)方式，是其發(fā)展空間思維、建立空間觀念的關(guān)鍵因素。課例中，教師讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、思考，建立體積公式模型，想象形影不離地伴隨左右。操作中，教師捕捉到“拼一個(gè)大長(zhǎng)方體，小魔方不夠用”這一極有價(jià)值的生成性資源，適時(shí)介入，引導(dǎo)交流，激活思維，學(xué)生竟然聯(lián)想到把一些位置空出來(lái)，在大腦中創(chuàng)造一個(gè)完整的大長(zhǎng)方體，很好地發(fā)展了空間想象能力與抽象能力。

四、以推理為渠道，在愉快的創(chuàng)造中提升學(xué)力

推理是學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。小學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)中，有合情推理也有演繹推理，二者相輔相成。從已有事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)，通過(guò)歸納、類(lèi)比等推斷體積公式模型屬合情推理，而運(yùn)用體積公式解決實(shí)際問(wèn)題屬演繹推理。小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中的推理很大程度上是依賴(lài)直觀而展開(kāi)的，其幾何推理能力主要是在圖形的變換、轉(zhuǎn)化等過(guò)程中得到發(fā)展的。課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、想象、推理交流中，通過(guò)比較、分析、抽象、概括、歸納、類(lèi)比等活動(dòng)，建構(gòu)體積公式模型，發(fā)展空間觀念。應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師又精心設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題情境，讓學(xué)生幫小達(dá)設(shè)計(jì)長(zhǎng)方體盒子制作圖，嘗試用二維平面圖形刻畫(huà)三維立體圖形，在二維平面圖形轉(zhuǎn)化為三維立體圖形的過(guò)程中，學(xué)生再次經(jīng)歷觀察操作、想象推理、表達(dá)交流，感知體驗(yàn)圖形與幾何的現(xiàn)實(shí)意義，建立并發(fā)展空間觀念。比一比誰(shuí)設(shè)計(jì)的盒子體積最大，充分激發(fā)學(xué)生的聰明才智，在更廣闊的空間里促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化思考與探索。

（作者單位：江蘇省淮安市浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 江蘇省淮安市人民小學(xué) 本專(zhuān)輯責(zé)任編輯：王彬）