中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的策略分析

朱彩紅

[摘 要] 題組教學(xué)能讓學(xué)生在解題的過程中感知題組的內(nèi)在規(guī)律，探究、發(fā)現(xiàn)題組內(nèi)蘊涵的知識和方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的. 本文從多個角度論述了優(yōu)化設(shè)計題組教學(xué)對學(xué)生思維發(fā)展的重要意義，指出教師在教學(xué)實踐中要精心設(shè)計題組，走出題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高課堂效率.

[關(guān)鍵詞] 優(yōu)化設(shè)計；題組教學(xué)；思維能力

美國數(shù)學(xué)家克萊茵說過：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.”中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出，“發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心”“要重視學(xué)生在獲取和運用知識過程中發(fā)展思維能力”. 作為數(shù)學(xué)教學(xué)主體的習(xí)題教學(xué)，應(yīng)重視數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計的研究，不斷改進(jìn)、優(yōu)化練習(xí)的設(shè)計與實施. 優(yōu)化題組教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種有效途徑.

所謂題組教學(xué)，是指圍繞某一教學(xué)目標(biāo)或知識點，精選一批具有代表性、系統(tǒng)性的習(xí)題，將知識、方法、技能融于其中，讓學(xué)生在解題的過程中感知題組的內(nèi)在規(guī)律，探究、發(fā)現(xiàn)題組內(nèi)蘊涵的知識和方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的.

優(yōu)化設(shè)計梯度型題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

學(xué)習(xí)活動是一個由易到難、由簡單到復(fù)雜的過程，題目的設(shè)置應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，采用化難為易的辦法，用題組訓(xùn)練的方式把一些較復(fù)雜的問題設(shè)計成一組有梯度的問題，給學(xué)生以清晰的層次感. 例如：

（1）已知一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和4，則第三邊長多少？

（2）已知一個直角三角形，有兩邊長分別為3和4，則第三邊長多少？

（3）已知一個三角形，有兩邊長分別為3和4，則第三邊的長能確定嗎？能否求出第三邊的取值范圍？

上述題組由易到難、層次分明，把學(xué)生的思維逐漸引向深入. 第（2）題用到了分類討論思想，第（3）題則用到了不等式的思想，這樣的安排能使學(xué)生既復(fù)習(xí)三角形的三邊關(guān)系，又掌握勾股定理，而且在逐漸深入的問題中品嘗到成功的喜悅；既掌握了知識，也深刻認(rèn)識了問題的本質(zhì)，能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

優(yōu)化設(shè)計“拆卸型”題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性

“拆卸型”題組是對于一個較復(fù)雜的題目或知識點，將它支解成若干部分來解決題目的一種題組. 這種題組是結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)生的思維能力而設(shè)計的，使學(xué)生容易接受知識，特別是基礎(chǔ)一般的學(xué)生效果更突出.

例如，求方程x-1+x-2=5的解.

絕對值是數(shù)學(xué)中活性較高的一個概念，而本題屬于含有多重絕對值符號的復(fù)雜絕對值方程，學(xué)生要解決此類問題有一定的困難，為了給學(xué)生道出解決問題的方向，我將此題支解成下面的題組：

（1）若x<1，x-1=____，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解為____.

（2）若x≥2，x-1=____，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解為____.

（3）若1≤x<2，x-1=_______，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解為____.

（4）求方程x-1+x-2=5的解.

通過上述“拆卸型”題組的設(shè)計，不僅將x的取值范圍分解成幾部分，而且將含有多重絕對值符號的復(fù)雜運算分解為含有單一絕對值符號的簡單運算，對各部分逐個解決，并在此基礎(chǔ)上變中求進(jìn)，進(jìn)中求通，進(jìn)一步探索問題的本質(zhì)屬性，能有效地培養(yǎng)思維的變通性.

優(yōu)化設(shè)計對比型題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

許多結(jié)構(gòu)形式與敘述方式相近的習(xí)題，學(xué)生很容易產(chǎn)生混淆，如果教師在教學(xué)時能適當(dāng)選用一組對比型題組進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生通過比較在同中求異、異中求同，則可使學(xué)生在比較中理解知識、掌握知識.

例如，在教學(xué)“平行四邊形”這一章時，由于各種四邊形的概念多，學(xué)生難以區(qū)別，可選用下列習(xí)題：

①對角線互相垂直的平行四邊形是正方形；（錯誤，是菱形）

②對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；（錯誤，不一定是特殊四邊形）

③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；（正確）

④對角線互相垂直的矩形是正方形；（正確）

⑤對角線相等的菱形是正方形；（正確）

⑥對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形. （正確）

以上題目基于四邊形這一章易于混淆的概念，貌合神離， 答案不盡相同. 很多章節(jié)在學(xué)生平時的練習(xí)中屢有混淆，錯誤率高，因此，要引導(dǎo)學(xué)生三思而后行，像這樣易錯之處用題組的形式出現(xiàn)，能有效地引起學(xué)生對細(xì)小問題的注意，有利于錯誤的避免與糾正，也有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

優(yōu)化設(shè)計歸類型題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的變化性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使學(xué)生在面臨問題時能夠從多種角度進(jìn)行考慮，真正做到“舉一反三”. 歸類型題組是一類問題的典型代表，解剖它即解剖了一類題，掌握它即掌握了解一類題的鑰匙.

例如，a為何值時，方程x2+x+a=0沒有實數(shù)根？

這是一道十分典型的例題，具有普遍的適用性，為了讓學(xué)生抓住事物的本質(zhì)屬性，可引導(dǎo)學(xué)生作如下探討：

（1）a為何值時，二次函數(shù)y=x2+x+a的圖象與x軸沒有交點？

（2）a為何值時，拋物線y=x2+x+a位于x軸的上方？

（3）a為何值時，二次函數(shù)y=x2+x+a的值恒為正？

（4）a為何值時，不等式x2+x+a≤0無解？

（5）a為何值時，不等式x2+x+a>0是全體實數(shù)？

（6）a為何值時，二次三項式x2+x+a的值恒為正？

上述習(xí)題，本質(zhì)上都可以通過解不等式1-4a<0得出結(jié)論. 這種通過改變信息形態(tài)得到內(nèi)容各不相同的命題，總結(jié)了Δ在不同數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用，學(xué)生通過訓(xùn)練能自然地把二次函數(shù)、不等式和方程等相關(guān)知識構(gòu)建成一個整體，達(dá)到懂一題曉一片的效果，不僅豐富了題目的內(nèi)涵，擴(kuò)大了知識的覆蓋面，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性.

優(yōu)化設(shè)計互逆型題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的雙向性

為進(jìn)一步打破學(xué)生禁錮于單一方向的思維定式，促進(jìn)互逆思維習(xí)慣的形成，教師在教學(xué)中應(yīng)精心設(shè)計可互逆式習(xí)題，逐步啟發(fā)、適時點撥，引導(dǎo)學(xué)生將題中的題設(shè)與結(jié)論互換互逆，發(fā)揮“原材料”的功能性，以提高學(xué)生互逆思維轉(zhuǎn)換能力，培養(yǎng)學(xué)生雙向思維的良好習(xí)慣.

這三道習(xí)題都考查了三角函數(shù)和勾股定理的運用，綜合性較強(qiáng). 互換了題設(shè)和結(jié)論，其結(jié)構(gòu)雖然發(fā)生了變化，但其解題思路、方法卻很類似，只要將解題的順序靈活調(diào)整即可. 這樣的“借題發(fā)揮”，不僅提高了學(xué)生的解題能力，而且增強(qiáng)了學(xué)生的雙向思維能力.

優(yōu)化設(shè)計拓展型題組，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

拓展練習(xí)是在基本題的基礎(chǔ)上，逐步變換條件與問題，加大題目難度，要求學(xué)生一一解答. 這種練習(xí)不僅能使學(xué)生清楚地看出數(shù)學(xué)題變化的來龍去脈，弄清解題思路的脈絡(luò)，而且對發(fā)展學(xué)生的推理能力、訓(xùn)練解題思維的靈活性和創(chuàng)造性都有好處.

例如，如圖2，在正方形ABCD中，點E和點F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+FD.

由本題的解法，可編擬如下拓展題：

（1）如圖3，在正方形ABCD中，點E和點F分別是BC，CD延長線上的點，且∠EAF=45°，求證EF=BE-FD.

（2）如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E和點F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，求證：EF=BE+FD.

（3）如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，點E和點F分別是BC和CD延長線上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，求證：EF=BE-FD.

（4）如圖6，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E和點F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，求證：EF=BE+FD

（5）如圖7，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E和點F分別是BC，CD延長線上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，求證：EF=BE-FD.

通過拓展和延伸，學(xué)生不僅在解題思路上發(fā)生拓展與遷移，而且在解題的方法與技巧上也能得到許多啟示，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性都極為有利.

綜上所述，優(yōu)化設(shè)計題組教學(xué)能走出題海戰(zhàn)術(shù)、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、提高課堂效率，而且能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力都有重要的作用.