提高學(xué)生使用“數(shù)形結(jié)合法”解三角函數(shù)問題的能力

甘正健

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合法 三角函數(shù) 策略研究

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）07B-0014-03

數(shù)形結(jié)合法是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的一種非常重要的解題思想方法，它可以把方程、函數(shù)、不等式、圖形的位置關(guān)系、圖形的數(shù)量關(guān)系巧妙地連接在一起，堪稱珠聯(lián)璧合的高手。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直覺，形無數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離?！?/p>

一、問題的提出

數(shù)形結(jié)合法由于其解法的巧妙性，在考試中往往能節(jié)約不少做題時(shí)間，并且每年高考都有不少用數(shù)形結(jié)合法可以快速求解的題型。從2005年、2006年和2008年的高考改卷情況看，這些題的得分率卻不高。為此，筆者特意在使用數(shù)形結(jié)合法最多的《三角函數(shù)》中在所帶過的四屆學(xué)生中進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查對(duì)象為高一年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生，每期參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù)平均為117人，調(diào)查結(jié)果如下（見下頁表1、表2）：

從上述的調(diào)查可以看出：①在解三角函數(shù)問題時(shí)，想到使用數(shù)形結(jié)合法解題的學(xué)生非常少；②對(duì)不同的考題，使用數(shù)形結(jié)合法的學(xué)生人數(shù)也有顯著差異；③本校學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力總體較低，主要體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識(shí)的缺漏及數(shù)形結(jié)合的橋梁無法搭建或錯(cuò)誤構(gòu)建；④使用數(shù)形結(jié)合法有時(shí)并不是最優(yōu)的解題思想方法，有可能會(huì)增加解題的負(fù)擔(dān)；⑤某些題目中恰當(dāng)使用數(shù)形結(jié)合法解題正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于非數(shù)形結(jié)合法。

二、經(jīng)驗(yàn)提升及反思教學(xué)

縱觀傳統(tǒng)教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合法的有效教學(xué)策略，筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出以下幾個(gè)方面：

1.歸納整理出能使用數(shù)形結(jié)合法的考題特征。如黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)的黃萍列舉了數(shù)形結(jié)合法在判斷方程根的個(gè)數(shù)問題、在解不等式、在線性規(guī)劃、在圓和圓錐曲線中的應(yīng)用。又如鹽亭縣職業(yè)高級(jí)中學(xué)的何大涌也歸納出運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法巧解高考三角函數(shù)問題的求函數(shù)的最值、確定角的范圍、判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)或方程的根、確定參數(shù)的范圍等五種考題特征。另外，廣西師范大學(xué)教授袁桂珍也整理出了驗(yàn)證類、圖形重組類、探索規(guī)律類等八大類。

2.注意數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建常見的數(shù)與形的關(guān)系表格。

3.舉一反三，變式教學(xué)。

4.從“數(shù)”想“形”，可由“形”到“數(shù)”，也可由“數(shù)”到“形”，甚至實(shí)現(xiàn)數(shù)與數(shù)、形與形的直接對(duì)接。筆者對(duì)這四屆學(xué)生采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，對(duì)上面四種有效的數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略進(jìn)行嘗試，但學(xué)生對(duì)用數(shù)形結(jié)合法解決三角函數(shù)問題卻很不敏感。

三、形成探究課題

縱觀各種提高高中生解題能力的研究，筆者發(fā)現(xiàn)有兩點(diǎn)共性很高。其一是“教法”上想辦法：如改變教學(xué)理念，改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)模式；思維誘導(dǎo)強(qiáng)化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；注重能力訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。其二是“學(xué)法”上下工夫：如增強(qiáng)主動(dòng)性，養(yǎng)成好習(xí)慣；增強(qiáng)獨(dú)立性，突破“師言堂”；增強(qiáng)探求性，樹立自信心。

其中，針對(duì)教學(xué)模式的改革，筆者在高2011級(jí)學(xué)生班級(jí)實(shí)施新課堂教學(xué)模式，經(jīng)過上半學(xué)期的嘗試，筆者發(fā)現(xiàn)新課堂教學(xué)模式與傳統(tǒng)模式有很大的不同。因此，筆者饒有興趣地開展了在新課堂模式下，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)問題的研究，并根據(jù)傳統(tǒng)教學(xué)的有效策略，制訂了以下幾種策略。

（一）策略一：精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，潤(rùn)物細(xì)無聲，數(shù)形結(jié)合巧然現(xiàn)

由于在新課堂模式下，教師對(duì)學(xué)生引導(dǎo)最多、最集中、最有效的就是導(dǎo)學(xué)案，它不僅可以把教師想點(diǎn)到的內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)，也是學(xué)生順利構(gòu)建知識(shí)框架的基礎(chǔ)。

途徑1：概念的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要板塊，據(jù)統(tǒng)計(jì)，高中階段理科概念有396個(gè)，文科概念有359個(gè)，而可以構(gòu)建數(shù)形關(guān)系的概念占95%左右。因此，精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，從數(shù)與形對(duì)概念進(jìn)行螺旋式轉(zhuǎn)換，是夯實(shí)“數(shù)形結(jié)合”的根基，是開啟學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)問題敏感度大門的一個(gè)有效途徑。

途徑2：在傳統(tǒng)教法中，歸納整理出能使用數(shù)形結(jié)合法的考題特征是提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合法解題敏感度非常有效的教學(xué)策略。所以在新課堂模式下，精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，可以將傳統(tǒng)法中這一策略發(fā)揮到極致。

筆者對(duì)這十年來廣西高考題中涉及三角函數(shù)內(nèi)容的考題進(jìn)行研究，歸納出可以使用數(shù)形結(jié)合法的考題類型：求特殊角的三角函數(shù)值、知角求值、知值求值、知值求角、函數(shù)的值域（含最大值和最小值）、確定角的范圍、判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)或方程的根、確定參數(shù)的范圍、解斜三角形等等。因此，我們應(yīng)該精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，提升學(xué)生用數(shù)形結(jié)合法解決三角函數(shù)問題的敏感度。

途徑3：精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，對(duì)新課內(nèi)容、專題內(nèi)容、復(fù)習(xí)課內(nèi)容、習(xí)題課內(nèi)容、講評(píng)課內(nèi)容都可以進(jìn)行必要且精彩的呈現(xiàn)。在不同的課型中，只要保持將數(shù)形結(jié)合法貫穿始終，教學(xué)完成三角函數(shù)后，學(xué)生至少有5次以上的重復(fù)感知、提升數(shù)形結(jié)合法的機(jī)會(huì)，基本可以達(dá)到熟記水平。因此，精心設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，充分感知“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲”的學(xué)習(xí)效果。

（二）策略二：充分發(fā)揮小組合作優(yōu)勢(shì)，集中火力，數(shù)形結(jié)合展魅力

小組合作模式是新課堂模式與傳統(tǒng)課堂模式在形式上的最大差異。新課堂模式下，課堂的所有環(huán)節(jié)都圍繞小組合作形式展開，小組的形成是極有講究的，一般是按AABBCC分組，每個(gè)組內(nèi)均有數(shù)形結(jié)合思維強(qiáng)和思維弱的同學(xué)，也就是組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)，所以如果能充分發(fā)揮小組合作形式的優(yōu)勢(shì)，對(duì)學(xué)科知識(shí)的傳授就可以做到有的放矢、游刃有余，對(duì)提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)問題的敏感度同樣具有較強(qiáng)的作用。如何讓這個(gè)策略有效實(shí)施，筆者認(rèn)為可以通過以下幾個(gè)途徑達(dá)成。

途徑1：充分利用小組展示機(jī)制。新課堂模式下每個(gè)小組都要進(jìn)行展示，各小組為了能在全班同學(xué)面前展示新知識(shí)，他們必將對(duì)需要展示的知識(shí)進(jìn)行課前研究，做到自己會(huì)，小組的同學(xué)也要會(huì)，更重要的是能清晰地告訴全班同學(xué)，說清思路、理順關(guān)系、獲得相應(yīng)結(jié)論等等。所以充分利用好小組的展示，對(duì)提升學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合法解題的敏感度是非常有意義的。就三角函數(shù)有關(guān)的值域（含最大值、最小值）專題來說，我們可以分為以下幾個(gè)小專題進(jìn)行討論：

1.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的圖象和性質(zhì)，如何求該函數(shù)的最大值和最小值；如果限制定義域，如何求最大值和最小值。

2.函數(shù)f（x）=sinx+2cosx可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？若可以，請(qǐng)求出它們的值域。

3.函數(shù)y=cos2x+2sinx-1可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數(shù)的值域問題？

4.函數(shù)y=sinx+（x≠kπ，k∈Z）；函數(shù)f（x）=；函數(shù)f（x）=log2（sinx+cosx）可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數(shù)的值域問題？

5.從上面這些專題中，你可以就與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域問題說說你的心得及在數(shù)形結(jié)合法應(yīng)用上的感受嗎？

教學(xué)反思：為什么單一的函數(shù)學(xué)生利用起來得心應(yīng)手，數(shù)形結(jié)合感挺好的，但復(fù)合起來之后，學(xué)生就陷入思維死胡同呢？筆者認(rèn)為除了代數(shù)中“形”的變化跟不上，還有一種叫后攝抑制的思維在影響著學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的提升，即學(xué)生學(xué)了后面的知識(shí)，或?qū)W了當(dāng)前的知識(shí)，他們就習(xí)慣用最近所學(xué)的知識(shí)去解決問題，而缺乏全局思想。一旦通過小組展示，小組必須在課前或課中進(jìn)行對(duì)學(xué)和群學(xué)，在互相學(xué)習(xí)的過程中，前后的知識(shí)得以互相融合，基礎(chǔ)函數(shù)的圖象和性質(zhì)就有機(jī)地整合了，從而對(duì)數(shù)形結(jié)合的敏感度就不是單一的了，而形成了一種復(fù)合型思維。

途徑2：小組點(diǎn)評(píng)機(jī)制。在新課堂模式下，優(yōu)秀的點(diǎn)評(píng)猶如優(yōu)秀的展示，到位的點(diǎn)評(píng)，可以一語道破天機(jī)，是打開認(rèn)知大門的一把鑰匙，是洞穿紛繁復(fù)雜的解題思維的一雙利眼！學(xué)生要給出漂亮的點(diǎn)評(píng)，他必須首先對(duì)該展示內(nèi)容能聽懂、悟透，并且通過同學(xué)的展示也能得到一定程度的啟發(fā)。這樣，不但培養(yǎng)了學(xué)生的洞察力、表達(dá)能力，更能間接地反映出其他學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)接受程度以及對(duì)所展示的知識(shí)的傳授程度，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的敏感度而言是一條重要途徑。

途徑3：小組質(zhì)疑機(jī)制。在新課堂模式下，每個(gè)小組都可以就別組展示的內(nèi)容提出質(zhì)疑，從而推動(dòng)對(duì)研究?jī)?nèi)容進(jìn)一步深化。有質(zhì)疑，必有新意，必有收獲，必有提升；每一次質(zhì)疑，都會(huì)引發(fā)師生的思考、激辯，引發(fā)思維火花的相互碰撞。

（三）策略三：組織、激發(fā)小組學(xué)習(xí)，數(shù)形結(jié)合自覺使

小組課堂上應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)值域的各種漂亮展示，從而讓課堂流暢，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合法應(yīng)用的敏感度有不同程度的提升，這些要取決于小組學(xué)習(xí)的組織與激發(fā)，筆者認(rèn)為可以通過以下途徑達(dá)到效果。

途徑1：小組作業(yè)機(jī)制。在新課堂模式下，筆者對(duì)作業(yè)采用了如下機(jī)制：對(duì)每天布置的作業(yè)，一般都是導(dǎo)學(xué)案（靈活組織、選擇課本內(nèi)容及所使用的教輔書內(nèi)容構(gòu)成），老師每個(gè)小組抽改一本，然后當(dāng)天得到老師批改的同學(xué)就是當(dāng)天的數(shù)學(xué)組長(zhǎng)，這個(gè)數(shù)學(xué)組長(zhǎng)拿到老師批改的作業(yè)后，根據(jù)老師給的正確、規(guī)范的解題步驟或提示，批改本小組其他同學(xué)的作業(yè)，一般每天花8分鐘左右。另外，一周內(nèi)，每組的數(shù)學(xué)組長(zhǎng)不能相同。在學(xué)期開始，每個(gè)小組每位成員均有100分的基礎(chǔ)分，每個(gè)小組也有100分的基礎(chǔ)分，老師每天批改作業(yè)時(shí)都檢查當(dāng)天數(shù)學(xué)組長(zhǎng)的作業(yè)是否得到其他小組的數(shù)學(xué)組長(zhǎng)的批改，對(duì)盡到當(dāng)天數(shù)學(xué)組長(zhǎng)工作的給予加分，沒盡責(zé)的則減分，同組里若一周內(nèi)有重復(fù)當(dāng)數(shù)學(xué)組長(zhǎng)的全組減分，學(xué)期結(jié)束后按分?jǐn)?shù)多少進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)。在這個(gè)作業(yè)機(jī)制下，每位同學(xué)都可以得到老師批改作業(yè)，都可以得到其他組員的幫助和分析，并且每位同學(xué)對(duì)他們所批改的當(dāng)次作業(yè)一般有6次重復(fù)的審視和閱讀及理解，特別是他們?cè)诩m錯(cuò)的過程中必然對(duì)正確的解題步驟的掌握達(dá)到最佳階段，每天所學(xué)的知識(shí)自然而然得到強(qiáng)化，對(duì)數(shù)形結(jié)合法敏感性的提升當(dāng)然也不在話下。

途徑2：小組活動(dòng)機(jī)制。小組活動(dòng)機(jī)制含有小組成員的獨(dú)學(xué)、對(duì)學(xué)與群學(xué)。筆者認(rèn)為小組活動(dòng)機(jī)制特別適合提高學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)問題的敏感度，因?yàn)樵谝粋€(gè)小組內(nèi)，有些成員對(duì)數(shù)的“形變”特別敏感，有些成員對(duì)圖的“形變”特別敏感，有些對(duì)“數(shù)”特別敏感，就是所謂的數(shù)感。而共同都不敏感及都敏感的地方更方便在課堂上小組活動(dòng)時(shí)老師對(duì)他們進(jìn)行共同點(diǎn)撥。

（四）策略四：實(shí)戰(zhàn)之中，重視選擇題及填空題的思維暴露，數(shù)形結(jié)合顯神威

課本的例題有很強(qiáng)的示范性及指導(dǎo)性，而課本的習(xí)題也有很強(qiáng)的指向性；測(cè)驗(yàn)試題是老師精心備課、上課的前提下出的有針對(duì)性的考題；高考真題，更是檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的最典型的代表。在新課堂模式下，這些習(xí)題教師應(yīng)很好地融合起來，注意做好歸類、比較和拓展，注意把它們編進(jìn)平時(shí)的測(cè)驗(yàn)題中。特別是三角函數(shù)部分的考題，在高考中使用數(shù)形結(jié)合法解題大多出現(xiàn)在選擇題及填空題，學(xué)生做這些題時(shí)，老師是看不出他們的思維過程的，筆者認(rèn)為，要提升學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合法解三角函數(shù)問題敏感度，還應(yīng)該設(shè)立小組講評(píng)機(jī)制：布置好每個(gè)小組的講評(píng)任務(wù)，讓每個(gè)小組把本小組內(nèi)所有成員的解題過程都展示出來，不論是對(duì)、是錯(cuò)，從而大面積的暴露學(xué)生的思維過程，從中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)他們數(shù)形結(jié)合的不敏感部分。案例：已知sinα=，且α∈（-，-π），求tanα= 。這是一道非常典型的知值求值題，通過代數(shù)變形計(jì)算就可以求出，很多老師估計(jì)不會(huì)在數(shù)形結(jié)合方面注重這樣的一道題，筆者之前也是如此。而在新課堂模式下，筆者采用小組講評(píng)機(jī)制后，有一個(gè)小組的同學(xué)呈現(xiàn)他們的做法有。

從這些學(xué)生的解法中，我們欣喜地看到他們不但具有了代數(shù)抽象變形的能力，而且在“數(shù)”與“形”結(jié)合點(diǎn)的選擇上也有了或許更快捷、更直觀的結(jié)合點(diǎn)。

（責(zé)編 林 劍）