高中物理天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算

呂吉昌

天體運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)中非常重要的部分，但這一類的知識(shí)又是非常抽象的，這類知識(shí)在現(xiàn)代科技中有非常重要的運(yùn)用。在高中物理中，這類知識(shí)的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在于掌握其規(guī)律，把它歸入“力和運(yùn)動(dòng)”大類中，運(yùn)用物理學(xué)中圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，建立“理想化模型”進(jìn)行研究。

關(guān)于天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，我們可以歸納出這樣幾種典型問題：1.重力加速度的計(jì)算；2.中心天體質(zhì)量的計(jì)算；3.第一宇宙速度的計(jì)算；4.中心天體密度的計(jì)算；5.周期與時(shí)間計(jì)算。

一、規(guī)律匯總

（1）近地衛(wèi)星問題：重力提供向心力

（2）同步衛(wèi)星問題：萬有引力提供向心力

（3）赤道物體問題萬有引力與地面的支持力（大小等于重力）的合力提供向心力

二、例題解讀

題型一：測(cè)量中心天體的質(zhì)量和密度

開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出，行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，比例常數(shù)是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按照?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)處理，

（1）請(qǐng)推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式。已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M。

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系等）都成立，經(jīng)測(cè)定地月距離為3.8×108m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×106s，試計(jì)算地球的質(zhì)量M地（G=6.67×10-11Nm/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）。

解：（1）因行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長(zhǎng)軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律可知

題型二：衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行與變軌運(yùn)動(dòng)分析

2010年10月26日21時(shí)27分，北京航天飛行控制中心對(duì)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星實(shí)施了降軌控制，衛(wèi)星成功由軌道半徑為a、周期為T1的極月圓軌道進(jìn)入遠(yuǎn)月點(diǎn)距離為a、周期為T2的橢圓軌道，為在月球虹灣區(qū)拍攝圖像做好準(zhǔn)備，軌道如圖所示。則“嫦娥二號(hào)”（ ）

A.在極月圓軌道上運(yùn)行周期T1小于它在橢圓軌道運(yùn)行周期T2

B.經(jīng)過極月圓軌道上B點(diǎn)的速率大于它經(jīng)過橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的速率

C.經(jīng)過極月圓軌道上B點(diǎn)與它經(jīng)過橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的加速度相等

D.經(jīng)過極月圓軌道上B點(diǎn)與它經(jīng)過橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能相等

解答：由開普勒第三定律可知，從極月圓軌道到橢圓軌道周期變小，A錯(cuò)誤；極月圓軌道上的A點(diǎn)和B點(diǎn)速率相同，由極月圓軌道A點(diǎn)變?yōu)闄E圓軌道上的A點(diǎn)時(shí)要減速，B正確，D錯(cuò)誤；在橢圓軌道上經(jīng)過A點(diǎn)和在極月圓軌道上經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)加速度運(yùn)用萬有引力定律可知大小相等，所以，經(jīng)過極月圓軌道上的B點(diǎn)和橢圓軌道上的A點(diǎn)時(shí)加速度大小相等，C正確。

題型三：雙星系統(tǒng)分析

所謂雙星系統(tǒng)是指在宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量差不多的兩顆星球，它們離其他星球都較遠(yuǎn)，因此，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略，在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解決這類問題的關(guān)鍵是抓住雙星的角速度（周期）相等，繞行的向心力大小相等及雙星間的距離和軌道半徑的幾何關(guān)系，可以概括為“四個(gè)相等”，即向心力、角速度、周期相等、軌道半徑之和等于兩星間距，然后運(yùn)用萬有引力定律和牛頓第二定律求解。

例如：經(jīng)過天文望遠(yuǎn)鏡的長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中的物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的線度遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離。雙星系統(tǒng)一般距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理?，F(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者間距為L(zhǎng)，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的周期。

（作者單位 西藏自治區(qū)日喀則地區(qū)上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校）