兩外角平分線相等的三角形性質(zhì)的探討

葉建耀

摘 要：如果三角形的兩個外角平分線相等，那么其是否為等腰三角形，針對這一點(diǎn)做著重論述，為相關(guān)教學(xué)工作者提供了一定的參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：三角形；外角平分線；等腰三角形

一、兩外角平分線相等的三角形研究進(jìn)展

在19世紀(jì)時學(xué)術(shù)界出現(xiàn)過這樣的命題：“兩內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形。”據(jù)萊莫斯發(fā)現(xiàn)這個命題之后，對于這個命題正確與否的問題很難由幾何方法來實(shí)行證明，因此，也引發(fā)學(xué)術(shù)界對命題研究的興致。隨之而后，幾何學(xué)家斯坦納對這個命題做出了證明，并且得到了學(xué)術(shù)界的廣泛認(rèn)同。隨后，人們的視線逐漸轉(zhuǎn)移，開始轉(zhuǎn)移到"三角形的兩個外角平分線相等是否是等腰三角形"的研究上，并于1989年蔣x先生解決了“位于一角對邊同側(cè)的另兩外角平分線相等的三角形是等腰三角形”的問題，此后人們對這個問題的討論也越來越激烈，但是卻沒有得到公認(rèn)的方式證明出兩外交平分線相等的三角形為等腰三角形，故而本文對此作出證明研究，以求為相關(guān)教學(xué)工作者提供更多的證明方法。

二、三角形的兩外角平分線相等為等腰三角形的研究

已知：△XYZ的旁心O與兩外角平分線YD和ZA在YZ邊的同側(cè)，YD=ZA，如圖1所示。

求證：XY=XZ或∠α=∠β

證明：過A、Z兩個點(diǎn)作∠ZAC=∠ZYD，∠AZC=∠D，與AC相交于C。

YD=ZA？圯△ZAC≌△DYZ？圯AC=YZ、ZC=ZD、∠YZD=∠ZCA

∵∠3=∠4=∠X+∠XAZ=∠X+∠YAZ

∠ZAC=∠2=∠1=∠X+∠D

∴∠YAC=∠YAZ+∠ZAC=∠YAZ+∠X+∠D

∠YZC=∠YZA+∠AZC=∠X+∠XAZ+∠D

由此？圯∠YAC=∠YZC.

然后過Y、C兩點(diǎn)作YM⊥ZC于M點(diǎn)，CB⊥YA于B點(diǎn)，連接YC后，Rt△ABC≌Rt△ZMY？圯YM=BC。由于YC=YC、YM=BC？圯Rt△YBC≌Rt△CMY？圯∠CYB=∠YCM？圯YA∥ZC？圯∠YAZ=∠CZA、∠D=∠AZC？圯∠YAZ=∠D

而△YOA和△ZOD中可以推出∠1=∠4？圯∠2=∠3？圯∠1+∠2=∠4+∠3？圯∠α=∠β？圯XY=XZ

∴△XYZ為等腰三角形

在上述論證中，證明了三角形兩個外角平分線相等的情況下，此三角形為等腰三角形，這樣的方法并不是唯一的論證方法，教師在展開教學(xué)活動中應(yīng)從多個方面切入，注重的是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，而非固定的“論證方法”灌輸，要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而激發(fā)和加強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力。

三、關(guān)于三角形平分線的初中教學(xué)

在初中教學(xué)的“三角形角平分線”中，其內(nèi)角平分線是指三角形中的一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線，但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，由于對幾何的邏輯推理缺乏興趣，常常沒有很高的學(xué)習(xí)熱情，也導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)成績無法有效提高，教師在教學(xué)工作中，應(yīng)從以下幾方面考慮：

在三角形外角平分線的教學(xué)中，可以結(jié)合多媒體技術(shù)向?qū)W生展示論證過程，多媒體技術(shù)可以將圖片、文本、影視、聲音和教學(xué)相結(jié)合，這種方式的應(yīng)用能打破幾何理論教學(xué)中的抽象性，通過營造一個擁有視聽的立體化環(huán)境，把教學(xué)中無法通過教師講解和分析表現(xiàn)出來的東西展示出立體可見畫面。比如，在初中幾何課堂中所講解的三角形平分線一課中，用傳統(tǒng)的講解方法只能局限于理論講解和論證分析，這樣的講解是概括抽象的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中由于思維缺乏對這具體現(xiàn)象的聯(lián)系，對于教師的講解，學(xué)生思維上只能發(fā)揮表層的“記憶”功能，無法對知識進(jìn)行深入地分析和探究。因此，對多媒體技術(shù)的利用，可以需要論證的圖形展示清楚，把整個論證過程用動態(tài)的方式展現(xiàn)出來，從而營造出一個理想的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生對初中幾何的學(xué)習(xí)能力得到提高和鞏固，這樣的教學(xué)方法是讓學(xué)生在幾何的學(xué)習(xí)過程中提高自身的科學(xué)素養(yǎng)，在社會的生活中學(xué)會用科學(xué)的眼光分析科學(xué)性現(xiàn)象，符合素質(zhì)教育的宗旨。

要理解三角形外角平分線的知識，在教學(xué)中應(yīng)滿足整個論證推理完整的前提下盡量簡化論證的過程，可以讓學(xué)生對復(fù)雜的論證方法進(jìn)行簡單的掌握，然后再由易入難。因此在運(yùn)用這樣的教育模式開展教學(xué)工作中，不應(yīng)只局限于對教材的理論分析，可以讓學(xué)生利用多媒體技術(shù)加深幾何知識在社會生活中的實(shí)際運(yùn)用。比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的課程中，三角形外角平分線相等為等腰三角形這些命題是誰發(fā)現(xiàn)的，在教材中并沒有具體描述，因此，可以讓學(xué)生通過互聯(lián)網(wǎng)的平臺去搜索相關(guān)知識，可以通過微博、論壇等渠道去發(fā)表對幾何的評論，通過對幾何的發(fā)展歷程的研究，讓學(xué)生利用多媒體技術(shù)去自主展開學(xué)習(xí)探討，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)科學(xué)技術(shù)的人文精神，提高了辯證唯物主義教育的效果，能有效培養(yǎng)學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)興趣。

從教育改革的層面上看，多媒體技術(shù)結(jié)合的幾何教學(xué)是一種未來教育的發(fā)展趨勢，我們可以采用與多媒體技術(shù)相結(jié)合的教學(xué)方式去對學(xué)生進(jìn)行更直觀立體的教學(xué)，對于圖形的論證可以產(chǎn)生詳細(xì)的動態(tài)描繪，同時注重學(xué)生的邏輯能力培養(yǎng)，充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的積極性，可以讓學(xué)生在這樣的教學(xué)中獲得創(chuàng)新的動力，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效措施。

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（作者單位 福建省莆田市莆田哲理中學(xué)）