反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

范鑫

摘 要： 隨著教育教學(xué)工作的不斷深入，反例教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來越被廣大師生重視和認(rèn)可。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)按照正常邏輯順序講解的知識學(xué)生聽得似懂非懂，這大大降低了教學(xué)效率，更浪費了寶貴的教學(xué)時間，而如果能恰當(dāng)適時地構(gòu)造反例，不僅能使學(xué)生全面地理解數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等，還能培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。本文從恰當(dāng)運用反例，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，深化理解，證明猜測，以及恰當(dāng)構(gòu)建反例，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維四個方面談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)運用反例的重要性。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 反例 數(shù)學(xué)概念 創(chuàng)造性思維

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)思維作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要分支納入到數(shù)學(xué)教學(xué)總體目標(biāo)中，這足以表明數(shù)學(xué)思維的重要性。只有巧妙使用在反例，才能對學(xué)生的智力活動起到定向糾錯、提煉升華的作用。

一、恰當(dāng)運用反例，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念

二、巧用反例，深化理解

要證明一個命題正確，必須經(jīng)過嚴(yán)密的推理證明，而要否定一個命題卻只要能舉出一個與結(jié)論矛盾的例子即可。在學(xué)習(xí)公式、定理時，有的學(xué)生常常不注意條件，在解題中常常出錯。這時，教師可以借助反例使學(xué)生深入思考，避免解題時再犯同樣的錯誤。在講解三角形全等判定時可以設(shè)計這樣一題：“有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩三角形全等嗎？”

三角形全等判定，明確至少具有三個元素，對應(yīng)相等的兩三角形全等。因為學(xué)生對“邊角邊”判定三角形全等已理解，主觀上提出此問，大多數(shù)學(xué)生很難準(zhǔn)確作出判斷。如圖，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′顯然是不全等的。

這樣的反例可以使學(xué)生理解此定理中夾角中的“夾”的深刻含義，達(dá)到準(zhǔn)確掌握和運用定理的目的。

又如，為了讓學(xué)生更好地掌握“一元二次方程”的概念，可以設(shè)計這樣一道練習(xí)題：下面列方程是一元二次方程的有（ ）

學(xué)生對選項A和B有爭議，我們可以讓學(xué)生對照概念對選項A、B進(jìn)行討論。他們最后認(rèn)定A選項是正確的，由此加深了對一元二次方程概念的理解：與系數(shù)有關(guān)，與未知數(shù)的指數(shù)有關(guān)，學(xué)生對B的爭論閃現(xiàn)了逆向思維的火花，即舉反例：當(dāng)a=0時，選項B不正確。通過引導(dǎo)學(xué)生舉反例糾正了這一常見錯誤，同時解決了教學(xué)中的重點、難點問題，提高了教學(xué)的有效性。

三、巧用反例，證明猜測

常有這樣的情況，一個數(shù)學(xué)家的重要猜想，用了很長時間不能證明猜想，若干年后，卻有人舉出反例否定這樣的猜想，問題得到了解決。

因為學(xué)生平時接觸的命題大都是真命題，學(xué)生最熟悉、習(xí)慣的是正向思維，易形成思維定勢，總是千方百計地希望證明結(jié)論成立，這往往反映出學(xué)生思維品質(zhì)的缺失。實際上，無論在理論研究上還是實際生活中，假命題都很多。正是由于對逆向思維要求較高，使得“反例題”的編寫困難，題海中經(jīng)典“反例題”難得一見。如判斷：（1）所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形。（2）所有角都相等的多邊形一定是正多邊形。（1）和（2）都是錯誤的，例如菱形和矩形。這兩個反例學(xué)生都容易想到。但是，除此之外，還有沒有其他反例呢？教師還可以做進(jìn)一步提問。

四、恰當(dāng)構(gòu)建反例，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

反例的運用、構(gòu)建，是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。反例往往是伴隨數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失效后產(chǎn)生的，所以反例構(gòu)建不能就事論事，而要把問題的產(chǎn)生過程、如何構(gòu)建出反例的思維過程充分展現(xiàn)給學(xué)生，使反例構(gòu)建與整個推理過程有機(jī)地結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例如， 請學(xué)生判斷：“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是真命題嗎？

教師在教學(xué)時，可以利用嚴(yán)格的尺規(guī)作圖，進(jìn)行如下的反例構(gòu)建：構(gòu)建△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD， CE=AD。從而△AEC≌ △BDA，則得∠D=∠E，AD=CE。但四邊形ADCE不是平行四邊形。這樣通過構(gòu)建反例，使學(xué)生在認(rèn)識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例的構(gòu)建是一種非常重要的教學(xué)手段和方式，反例教學(xué)有極其重要的作用。教師在教學(xué)中，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，更要善于引?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境，需要學(xué)生對所學(xué)知識有深刻、透徹的理解，并調(diào)動他們?nèi)康臄?shù)學(xué)知識，充分展開想象。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從反面思考問題，有助于數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。只要教師在教學(xué)過程中合理地運用反例，適當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，就能使學(xué)生不斷地完善數(shù)學(xué)概念，提高分析、判斷問題的能力，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].廣西：廣西教育出版社.

[2]呂漢茂.運用反例教學(xué)提高課堂教學(xué)質(zhì)量.中學(xué)數(shù)學(xué)研究， 2005（11）.

[3]俞求是.試論數(shù)學(xué)的科學(xué)性及其特點與數(shù)學(xué)教學(xué).人民教育出版社，2009年4月5日第1版.