融入數(shù)學(xué)建模思想的常微分方程教學(xué)初探

阮妮

[摘 要]本文闡述了常微分方程的發(fā)展及與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系特點，并以國民經(jīng)濟增長模型為例子，就融入數(shù)學(xué)建模思想的常微分方程課程的課堂教學(xué)進行分析和探討。

[關(guān)鍵詞]常微分方程 數(shù)學(xué)建模 國民經(jīng)濟增長模型

[中圖分類號] O175.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）08-0067-02

一、引言

常微分方程是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是應(yīng)用性很強的一門數(shù)學(xué)課。它已有著300多年的悠久歷史，而且繼續(xù)保持著進一步發(fā)展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中，常微分方程的應(yīng)用范圍不斷擴大并深入到機械、電訊、化工、生物、經(jīng)濟和其他社會學(xué)科的各個領(lǐng)域。作為一門基礎(chǔ)課教程，該課程主要介紹常微分方程的一些常用解法和基本理論。這些內(nèi)容將為數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理和計算機系的大學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中服務(wù)。它們對于數(shù)學(xué)聯(lián)系實際和各種數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用是不可缺少的基本訓(xùn)練，這正是常微分方程課程的一個特色。常微分方程基本理論是該學(xué)科的精華所在，其基本理論的教學(xué)目的是讓學(xué)生去體會常微分方程的思想方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的魅力。然而，很多理工科學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不了解學(xué)這門課程有什么用途而存在偏重方程的解法計算，輕理論分析，死記硬背公式的傾向，以至于學(xué)生在運用常微分方程知識建立微分方程數(shù)學(xué)模型不能獲得解析解而無法分析解決實際問題，從而缺乏學(xué)習(xí)的動力和興趣，最后逐漸認為這是一門非?？菰锒鴽]用的學(xué)科。造成這種傾向的原因是多方面的，基本理論內(nèi)容比較抽象，教師的課堂教學(xué)等都有一定的關(guān)系，鑒于此現(xiàn)狀，本文從融入數(shù)學(xué)建模思想這個角度來對常微分方程課程的課堂教學(xué)進行分析和探討。

二、常微分方程與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系特點

（一）數(shù)學(xué)建模

進入20世紀以來，隨著數(shù)學(xué)向一切學(xué)科領(lǐng)域的滲透以及計算機應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視。通過對實際問題的分析抽象和簡化，明確實際問題中最重要的變量和參數(shù)，通過系統(tǒng)的變化規(guī)律或?qū)嶒炗^測數(shù)據(jù)建立起這些變量和參數(shù)之間的量化關(guān)系，用精確或近似的數(shù)學(xué)方法求解，然后把數(shù)學(xué)結(jié)果與實際問題進行比較，用實際數(shù)據(jù)驗證模型的合理性，對模型進行修改和完善，最后將模型用于解決實際問題的過程，這就是數(shù)學(xué)建模。簡而言之，數(shù)學(xué)建模就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實際問題的過程，體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)”的思想。

（二）常微分方程與數(shù)學(xué)建模相輔相成

在常微分方程的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該先了解學(xué)生的專業(yè)特點，由于教授這門課程所面向的是成人本科生，學(xué)生入學(xué)時的知識結(jié)構(gòu)有多不同，因而產(chǎn)生了教學(xué)該如何設(shè)計的一個特殊性。那么，在授課中從學(xué)生的學(xué)習(xí)需求出發(fā)，讓學(xué)生初步了解微分方程的類型，及其相應(yīng)的解法特點，有選擇性地引入簡化的條件特殊化的常微分方程數(shù)學(xué)模型，在學(xué)生熟練掌握特定類型的微分方程的解法后逐步完善數(shù)學(xué)模型，進而引導(dǎo)學(xué)生思考一般化更為復(fù)雜的微分方程的模型。下面我們用例子加以說明。

例：國民經(jīng)濟的增長模型

國民收入的主要來源是生產(chǎn)。國民收入主要用于以下三個方面：消費資金、投入再生產(chǎn)的積累資金、公共設(shè)施的開支。下面將討論國民收入與這三者的關(guān)系，并建立相應(yīng)的國民經(jīng)濟的增長模型。

解：假設(shè)Y（t）是時刻的國民收入水平，也可用它表示生產(chǎn)水平；C（t）表示時刻消費水平；G表示用于公共設(shè)施的開支水平，這里把它看做是常數(shù)；I（t）是時刻用于投入再生產(chǎn)的投資水平。

根據(jù)實際情況可以看出國民的消費水平與國家生產(chǎn)水平成正比，比例系數(shù)為k，即C=Yk，k∈（0，I），稱k是消費系數(shù)，S=1-k稱為積累系數(shù)。對于t時刻國民這三方面總的需求水平表示為D（t），則有：D=kY+I+G （1）

通過以上對實際問題的模型建立、分析，很好地運用常微分方程的相應(yīng)解法計算、討論，可以看出國民收入與消費資金、投入再生產(chǎn)的積累資金、公共設(shè)施的開支，這三者的關(guān)系特點，該模型為國家有關(guān)部門提供了國民經(jīng)濟增長的一個預(yù)測模型，可以很好地制定相關(guān)的政策法規(guī)，從而有利于國家的發(fā)展，創(chuàng)造一個更為和諧的社會。

三、教學(xué)感悟

常微分方程中許多概念、性質(zhì)、定理的形成過程本身就融入著數(shù)學(xué)建模的思想，我們在教學(xué)的過程中可以結(jié)合實際自然而然地引出課程內(nèi)容。然而，數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)不是一蹴而就，是長期培養(yǎng)和鍛煉才能形成的。因此，首先，教師應(yīng)樹立先進的教育理念，師生共同明確學(xué)習(xí)常微分方程這門課程的目的；其次，應(yīng)從學(xué)生的專業(yè)特點、學(xué)習(xí)情況、接受情況出發(fā)，在課程教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；最后，教師在充分理解教材的基礎(chǔ)上，掌握課程特點，適當刪減理論性強，冗長繁瑣的證明過程，因材施教。此外，還應(yīng)不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，融入數(shù)學(xué)建模思想，適當增加一些建模實例，并講解其中的解題過程，讓枯燥難學(xué)的數(shù)學(xué)定理、公式變得簡單，生動有趣，這樣不僅不會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，反而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感到課本知識不是生搬硬套規(guī)定的，而是與實際生活密切相關(guān)的，讓學(xué)生真正體會到學(xué)以致用“生活中處處有數(shù)學(xué)”。本文只是個人的見解在此亦希望能得到各位同行的指導(dǎo)意見，完善本課程的教學(xué)。

[ 參 考 文 獻 ]

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[3] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] 東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005：50-59.

[5] 李娜等.MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].大學(xué)教育，2012，（11）：66-67.

[責(zé)任編輯：碧 瑤]