芻議抽象函數(shù)定義域的解題策略

陸修群

解決抽象函數(shù)定義域的問題，不少學生在高一新課的時候不能理解，即使到了高三總復(fù)習的時候也是經(jīng)常出錯，究其根本原因還是學生對函數(shù)的定義及此類題型的解法策略未能真正掌握。函數(shù)的定義是：一般的，設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f （x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，其中x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。因此，不論函數(shù)是何種類型，求其定義域就是求函數(shù)解析式中使得函數(shù)有意義的獨立的x的取值范圍。當然，抽象函數(shù)的定義域也不例外。

一、已知f （x）的定義域，求復(fù)合函數(shù)f [g （x）]的定義域

例1.已知函數(shù)f （x）的定義域為[-2，3]，求f （2x-1）的定義域。

解：∵f （x）的定義域為[-2，3]，∴-2≤2x-1≤3，-≤x≤2。

故函數(shù)f （2x-1）的定義域為[-，2]。

解題策略1：若f （x）的定義域為a≤x≤b，則f [g （x）]括號中的g （x）與f （x）括號中的x地位等價范圍相同，則a≤g （x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f [g （x）]的定義域。

二、已知函數(shù)f [g （x）]的定義域，求f （x）的定義域

例2.已知函數(shù)f （x2+2x）的定義域為[-2，2]，求函數(shù)f （x）的定義域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

故f （x）的定義域為[-1，8].

解題策略2：若f [g （x）]的定義域為x∈[a，b]，則由a

三、已知復(fù)合函數(shù)f [g （x）]的定義域，求f [h （x）]的定義域

例3.已知函數(shù)f （x2+2x）的定義域為[-2，2]，求f （3x-5）的定義域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

而f （x2+2x）的中的x2+2x與f （3x-5）中的3x-5范圍相同，則-1≤3x-5≤8，則≤x≤。即f （3x-5）的定義域為[，]。

解題策略3：若f [g （x）]的定義域為x∈（a，b），則由a

四、已知函數(shù)f （x）的定義域，求運算型的抽象函數(shù)g （x）=f [g （x）]+f [h （x）]的定義域

例4.已知函數(shù)f （x）的定義域是[0，1]，求g （x）=f （x+）+f （x-）的定義域。

解：由條件，g （x）的定義域是f （x+）與x-）定義域的交集。

列出不等式組0≤x+≤10≤x-≤1？圯-≤x≤≤x≤？圯≤x≤，

故g （x）=f （x+）+f （x-）的定義域為[，].

解題策略4：求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。若已知函數(shù)f （x）的定義域是（a，b），求y=f [g （x）]+f [h （x）]的定義域時，先求a

總之，抽象函數(shù)定義域的問題一定要從根本上弄明白，通常而言，定義域是指使得這個函數(shù)有意義的獨立自變量的所有值組成的集；在解決具體問題時，要抓住函數(shù)內(nèi)部的等價條件進行轉(zhuǎn)化，進而利用不等式知識解決問題。

（作者單位 江蘇省如東縣豐利中學）