位移矢量三角和速度矢量三角在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

林宏

一、化曲為直，一分為二

即應(yīng)用兩個(gè)矢量三角形把曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)。平拋運(yùn)動(dòng)根據(jù)其受力情況可分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)。解題時(shí)可根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，分別列式，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性聯(lián)立求解。

其規(guī)律可以表示為下表。

推論：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過一段時(shí)間，到達(dá)某一位置時(shí)，設(shè)其末速度與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為β，則tgα=2tgβ。

二、基本規(guī)律的應(yīng)用

我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生能夠接受“化曲為直，一分為二”的物理思想，但在具體做題時(shí)，不能恰當(dāng)找到題設(shè)物理量之間的聯(lián)系，建立起有效的物理方程。在學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生的感受是“一聽就懂，一做就懵”。為幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的困難，我認(rèn)為只要在平拋運(yùn)動(dòng)中，畫出位移矢量三角和速度矢量三角，就能恰當(dāng)找到題設(shè)物理量之間的聯(lián)系，建立起有效的物理方程，使問題迎刃而解。

1.作出平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，在軌跡上畫出位移矢量三角和速度矢量三角

例1.作平拋運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)它的水平速度與豎直速度的大小之比為1∶2時(shí)，其水平位移與豎直位移的大小之比為______。

解析：在平拋運(yùn)動(dòng)中，畫出位移矢量三角和速度矢量三角，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)水平速度與豎直速度的大小之比與其水平位移與豎直位移的大小之比的聯(lián)系。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：

例2.如下圖，從傾角為θ的足夠長(zhǎng)斜面的A點(diǎn)先后將同一個(gè)小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，球落到斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角為φ1，第二次初速度為v2，球落到斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角為ψ2，若v1>v2，則：

①φ1>φ2 ②φ1<φ2 ③φ1=φ2 ④無法確定

解析：小球拋出的初速度跟小球落到斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角之間的關(guān)系，看似無法聯(lián)系起來，但是只要在平拋運(yùn)動(dòng)中，畫出位移矢量三角和速度矢量三角，不難發(fā)現(xiàn)

例3.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球從傾角為30°的斜面頂點(diǎn)A水平拋出（不計(jì)空氣阻力），正好落在B點(diǎn)，這時(shí)B點(diǎn)的動(dòng)能為35 J。求小球的初動(dòng)能為______。

解析：在平拋運(yùn)動(dòng)中，畫出位移矢量三角和速度矢量三角，不難發(fā)現(xiàn)v0和v的關(guān)系，從而推出動(dòng)能之比。

2.巧妙應(yīng)用位移矢量三角和速度矢量三角，簡(jiǎn)化解題過程

例4.如圖所示，從傾角為α的斜面上的A點(diǎn)以初速度v0水平拋出一個(gè)物體在空中飛行一段時(shí)間后，落到斜面的B點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。求拋出后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間物體與斜面間距離最大？最大距離是多少？

解析：平拋運(yùn)動(dòng)一般分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)。但在具體題目中，要具體分析，不要盲目照搬。本題若沿水平和豎直方向進(jìn)行分解計(jì)算，解題過程較復(fù)雜，如果沿垂直于斜面和平行于斜面分解，解題過程非常簡(jiǎn)單。

解：將平拋初速度和重力加速度沿平行于斜面和垂直斜面分解，物體在垂直于vy斜面的方向上做初速為v0sinα，加速度為gcosα的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，物體距斜面最遠(yuǎn)的時(shí)刻就是在該方向上上升到最大高度的時(shí)刻，即在該方向上的末速度為零，

3.高考中的應(yīng)用

例5.（2010·全國卷Ⅰ·18）一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時(shí)，其速度方向與斜面垂直，運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為

（ ）

解析：設(shè)小球的初速度為v0，飛行時(shí)間為t，由速度三角可得=tanθ.故有=，答案為D。

例6.（2010·北京Ⅰ·22）如圖，跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過一段加速滑行后從O點(diǎn)水平飛出，經(jīng)過3.0 s落到斜坡上的A點(diǎn)。已知O點(diǎn)是斜坡的起點(diǎn)，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m=50 kg。不計(jì)空氣阻力。（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10 m/s2）求：

（1）A點(diǎn)與O點(diǎn)時(shí)的距離L；

（2）運(yùn)動(dòng)員離開O點(diǎn)時(shí)的速度大小。

解析：（1）運(yùn)動(dòng)員在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由位移三角形得：Lsin37°=gt2

有A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離L==75 m

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員離開O點(diǎn)的速度為v0，運(yùn)動(dòng)員在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即Lcos37°=v0t

解得v0==20 m/s

總結(jié)：在平拋運(yùn)動(dòng)中，只要將平拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為位移矢量三角和速度矢量三角，就能幫助學(xué)生克服思維上的障礙，更好地應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解一些看似難以解決的問題。

（作者單位 貴州省遵義市第五中學(xué)）