淺談“若p則q”的命題之否定

王曉杰

摘 要：很多學(xué)生認為命題“若p則q”的否定是“若p則？劭 q”，這是錯誤的，以淺顯易懂的方式糾正這個誤區(qū).

關(guān)鍵詞：命題；否定；真值

引例：寫出下列命題的否定.

（1）若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線相互平分。

（2）若a·b=0，則a=0。

有人認為“若p則q”的否定是“若p則？劭 q”.如命題“若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線相互平分”的否定為“若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線不相互平分”.看起來好像沒什么錯，一真一假，但是，把“若a·b=0，則a=0”的否定寫成“若a·b=0，則a≠0”就有問題了.很顯然，這里的原命題和它的否定都是假命題，這就出現(xiàn)了矛盾.下面我們從“若p則q”定義說起，從而了解它的否定.

一、假言命題

用聯(lián)結(jié)詞“若……則……”聯(lián)結(jié)兩個命題p、q，構(gòu)成的命題“若p則q（p→q）”稱為p、q的假言命題，讀作p蘊涵q，它屬于復(fù)合命題的一種.假言命題是反映某一事物情況是另一事物情況存在條件的命題，或者說，假言命題是有條件地陳述某種事物情況存在的命題.

二、“若p則q”的否定是什么

為解決這一問題，首先我們從假言命題的真值表開始，其真值表如下：

易見，當且僅當p真q假時p→q為假.我們發(fā)現(xiàn)，根據(jù)“蘊涵”的意義，p→q即“若p則q成立”，也可以說“若p則？劭 q不成立”，即“p→q=？劭 （p∧（？劭 q））”.因此，由命題演算定律知：？劭 （p→q）=p∧（？劭 q）.（我們只是了解此結(jié)果，詳細的推導(dǎo)過程請讀者參閱有關(guān)邏輯學(xué)文獻.）

由此假言命題（p→q）的否定是：p∧（？劭 q）.

那么引例中兩個問題的答案應(yīng)是：

（1）“若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線相互平分”的否定是“存在一個四邊形，它是平行四邊形且它的對角線不互相平分”.

（2）“若a·b=0，則a=0”（省略量詞的全稱命題）的否定是“存在實數(shù)a、b使得a·b=0，且a≠0”.

又如，命題“若x+y<1，則x2+y2<1”的否定是“存在實數(shù)x和y，使x+y<1且x2+y2≥1；命題“若a+b是偶數(shù)，則a和b是偶數(shù)”的否定是“存在實數(shù)a、b使得a+b是偶數(shù)，且a和b不是偶數(shù)”.

必須注意，假言命題的否命題與該命題的否定是兩個不同的概念.首先，對象不同，否命題僅針對假言命題而言，而任一命題都可以寫出它的否定.其次，命題的否定式是原命題的矛盾命題，兩者一真一假，而假言命題的否命題則不然，與原命題的真假可能相反也可能相同.如上述命題“若a和b是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是“若a或b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)”，仍是全稱命題，而其否定式“存在數(shù)a和b是偶數(shù)，且a+b不是偶數(shù)”是一個特稱命題.

三、對命題的一點了解

教材中我們學(xué)習(xí)了全稱命題和特稱命題的否定，“若p則q” 的四種命題，那么命題共有多少種呢？

教材中我們不研究全稱命題和特稱命題的否命題（除非可以改寫成“若p則q”的形式），也不提及“若p則q”命題的否定，我們在有關(guān)命題的教學(xué)中，要把握好講解的“度”是不難的，但在一些習(xí)題資料中偶爾會出現(xiàn)此類問題，比較棘手，學(xué)生也容易混淆，需要我們老師多了解一些，做到心中有數(shù).

參考文獻：

蔡圣兵.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞學(xué)習(xí)指導(dǎo)[J].高中生學(xué)習(xí)：高二版，2011（02）.

（作者單位 內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市海拉爾第二中學(xué)）