淺談中考中的數(shù)學(xué)建模思想類型

莊家朝

數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向我們提出的各種問(wèn)題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。如何將現(xiàn)實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這是對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題能力的檢驗(yàn)，也是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。

數(shù)學(xué)建模思想是指從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、解決、處理問(wèn)題的思維過(guò)程。它包括對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，解釋驗(yàn)證等步驟?，F(xiàn)就初中數(shù)學(xué)中考中幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)建模類型歸納如下，與大家商榷。

一、方程模型

方程是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型。方程應(yīng)用題可以與現(xiàn)實(shí)世界的許多問(wèn)題發(fā)生聯(lián)系，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，設(shè)定合適的未知數(shù)找出相等關(guān)系，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否適合實(shí)際問(wèn)題。

方程模型主要有工程、行程、利息和稅率、百分率、濃度分配、勞力調(diào)配等題型。

例.（上海市，2004）為加強(qiáng)防汛工作，市工程隊(duì)準(zhǔn)備對(duì)蘇州河一段長(zhǎng)為2240米的河堤進(jìn)行加固。由于采用新的加固模式，現(xiàn)在計(jì)劃每天加固的長(zhǎng)度比原來(lái)計(jì)劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計(jì)劃縮短2天。為進(jìn)一步縮短該段加固工程的時(shí)間，如果要求每天加固224米，那么在現(xiàn)在計(jì)劃的基礎(chǔ)上，每天加固的長(zhǎng)度還要再增加多少米？

（答案：64米。）

二、不等式（組）模型

現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題很難確定具體數(shù)值，但可以求出或確定這一問(wèn)題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所有研究問(wèn)題的面貌有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)。

不等式（組）模型主要有方案設(shè)計(jì)、最佳優(yōu)化等題型。

例.（河北省，2004）光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)，現(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表：

（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金（元），求y與x間函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說(shuō)明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；

（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提出一條合理化建議。

（答案：（1）y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000，x的取值范圍：10≤x≤30（x是正整數(shù)）；（2）由200x+74000≥79600，得x≥28，由10≤x≤30，則x取28、29、30三個(gè)值，故有3種不同方案；（3）由y=200x+74000得y隨x的增大而增大，當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值。）

三、函數(shù)模型

函數(shù)應(yīng)用題涉及的知識(shí)層面豐富，解法靈活多變，是考試命題的熱點(diǎn)問(wèn)題。解答此類問(wèn)題一般都是從建立函數(shù)關(guān)系入手，將實(shí)際問(wèn)題模型化或結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)挖掘解題思路。

函數(shù)模型主要有造價(jià)成本最低、產(chǎn)出利潤(rùn)最大、風(fēng)險(xiǎn)決策、股市、期貨、開(kāi)源節(jié)流、扭虧增盈等題型。

例.（貴陽(yáng)市，2004）某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表：

若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)。

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

（答案：（1）y=-x+40；（2）銷售價(jià)定為25元，此時(shí)獲得最大利潤(rùn)為225元。）

四、統(tǒng)計(jì)模型

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛應(yīng)用，作為學(xué)生要學(xué)會(huì)深刻理解基本統(tǒng)計(jì)思想。要善于提出問(wèn)題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，并能進(jìn)行有效的交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn)。

統(tǒng)計(jì)模型主要有估算、預(yù)測(cè)等問(wèn)題。

例.（河南省，2004）某水果店一周內(nèi)甲、乙兩種水果每天銷售情況統(tǒng)計(jì)如下（單位：千克）：

（1）分別求出本周甲、乙兩種水果平均每天銷售多少千克；

（2）甲、乙兩種水果哪個(gè)銷售更穩(wěn)定？為什么？

（答案：（1）甲、乙兩種水果平均每天平均銷售51千克；（2）乙水果銷售更穩(wěn)定些。）

五、平面幾何模型

幾乎每個(gè)幾何定理都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形，這個(gè)圖形就可以看作幾何的基本圖形。只要熟悉了這些定理及圖形，就可運(yùn)用這些作為幾何模型來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。

平面幾何模型主要有零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點(diǎn)、道路設(shè)計(jì)、飛輪、皮帶、拱橋、制造設(shè)計(jì)等問(wèn)題。

例1.（山東濰坊，2004）現(xiàn)有樹(shù)12棵，把它栽成三排，要求每排恰好為5棵，如下圖1就是一種符合條件的栽法。請(qǐng)你再給出三種不同的栽法。（畫(huà)出圖形即可）

例2.（青海湟中，2004）有一塊三角形的地，現(xiàn)要平均分給四農(nóng)戶種植（即四等分三角形面積），請(qǐng)你在圖2上作出分法。（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是善于通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，抓住其本質(zhì)，聯(lián)想相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)表達(dá)式，并應(yīng)用其性質(zhì)找到解決問(wèn)題的途徑。

思路是：分析實(shí)際問(wèn)題—（聯(lián)想）—建立數(shù)學(xué)表達(dá)式—（選擇數(shù)學(xué)知識(shí)）—解決實(shí)際問(wèn)題。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又是為實(shí)踐服務(wù)的宗旨。

在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門(mén)抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。

（作者單位 福建省泉州市德化縣第五中學(xué)）