不定方程計(jì)算法在化學(xué)中的應(yīng)用

張軍

摘要：根據(jù)求解策略的不同，把不定方程在化學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用歸納為代入、比值、消元、討論4種類型，并選了6個(gè)較為典型的例題進(jìn)行了解析，說(shuō)明不定方程計(jì)算方法的應(yīng)用可使一些化學(xué)計(jì)算問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。

關(guān)鍵詞：不定方程計(jì)算法；化學(xué)計(jì)算；中學(xué)化學(xué)教學(xué)

文章編號(hào)：1005–6629（2013）8–0062–03 中圖分類號(hào)：G633.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

方程的個(gè)數(shù)少于其中所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)，通常稱之為“不定方程”。如不限定條件，這類方程的解一般是不確定的。進(jìn)行化學(xué)計(jì)算時(shí)，如活用不定方程計(jì)算方法卻常常使一些化學(xué)計(jì)算問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。已有文獻(xiàn)[1～4]中以不定方程應(yīng)用于有機(jī)化學(xué)計(jì)算的討論居多，而具體解法以討論法為主。筆者以更開(kāi)放的視角，根據(jù)求解策略的不同，將中學(xué)化學(xué)不定方程應(yīng)用中常見(jiàn)的有關(guān)問(wèn)題大致分為四種類型，分述如下。

1 代入型

這種類型多見(jiàn)于選擇題，一般可根據(jù)相關(guān)化學(xué)規(guī)律建立一個(gè)二元一次方程，再將選項(xiàng)提供的可能結(jié)果逐一代入該方程進(jìn)行驗(yàn)證，如果能使方程成立，則問(wèn)題得解。

例1 高嶺土的組成可表示為Al2Si2Ox（OH）y，其中x、y的數(shù)值分別是（ ）。

A. 7、2 B. 6、3 C. 5、4 D. 3、6

解析：高嶺土中Al、Si、H、O等元素的化合價(jià)分別為：+3、+4、+1、-2，由化合價(jià)規(guī)則，即化合物中所有元素化合價(jià)代數(shù)和等于0，也即正化合價(jià)之和等于負(fù)化合價(jià)絕對(duì)值之和，可得

3×2+4×2+1×y=2×（x+y）

即2x+y=14

將各選項(xiàng)提供的可能結(jié)果分別代入上式進(jìn)行驗(yàn)證，顯然當(dāng)x=5，y=4時(shí)方程成立，故選C。

本例若不建立不定方程，直接代入驗(yàn)證，也會(huì)得解，但遠(yuǎn)不如將選項(xiàng)中的數(shù)值代入以上不定方程更為方便、高效。

2 比值型

這種類型由題意建立的方程一般含兩個(gè)未知數(shù)，且其常數(shù)項(xiàng)一般為0，有一定的特殊性。因此，運(yùn)算時(shí)并不奢求其中所有未知數(shù)的具體值，而僅需確定其比值關(guān)系。

例2 在FeCl3 和CuCl2 的混合液中加入過(guò)量鐵粉，充分反應(yīng)后，溶液中溶質(zhì)的總質(zhì)量不變，則原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物質(zhì)的量之比為多少？

解析：設(shè)原溶液中FeCl3和CuCl2的物質(zhì)的量分別為2x和y，由于鐵粉過(guò)量，因此原溶液中FeCl3和CuCl2均全部參與反應(yīng)，即

Fe + 2Fe3+=3Fe2+ Fe + Cu2+=Fe2+ + Cu

1mol 2mol 1mol 1mol 1mol

x 2x y y y

再依據(jù)溶液中溶質(zhì)的總質(zhì)量不變，建立不定方程，此條件可顯化為反應(yīng)中溶解的鐵的質(zhì)量和析出的銅的質(zhì)量相等，即

56 g·mol-1×（x+y） = 64 g·mol-1×y

也即56x=8y

因此 = =

故原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物質(zhì)的量之比為

= =

本例解析中把兩個(gè)未知數(shù)看成一個(gè)整體（即 ），十分巧妙地將不定方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而輕松得解。另外，把FeCl3 的物質(zhì)的量設(shè)為2x，使得建立的方程更為簡(jiǎn)潔和方便運(yùn)算，也是一個(gè)需要注意的亮點(diǎn)。相反，如果不能充分認(rèn)識(shí)以上不定方程的特殊性，非要拘泥于一般的窮舉討論法分別求得x、y，幾乎是不可能的。

3 消元型

消元型所建立的方程也有其特殊性，比較常見(jiàn)的是其中多個(gè)未知數(shù)之間存在確定的比例（或倍數(shù)）關(guān)系，因此，方程加減運(yùn)算的結(jié)果可同時(shí)消去多個(gè)未知數(shù)，從而確定剩余唯一未知數(shù)的具體值。

本例解析中充分利用兩個(gè)方程整體上的倍數(shù)關(guān)系，通過(guò)加減消元法將三元一次方程直接轉(zhuǎn)化為一元一次方程而得解。當(dāng)然，兩個(gè)方程整體上的倍數(shù)關(guān)系直接依賴于把H2的體積設(shè)為2x，如果按照一般的處理將其設(shè)為x，所建立的兩個(gè)方程整體上的倍數(shù)關(guān)系不復(fù)存在。盡管方程可解，具體運(yùn)算卻要麻煩些了。

4 討論型

此類型比較普遍，多見(jiàn)于有機(jī)化合物分子式的確定。隱含條件通常為未知數(shù)取值范圍為正整數(shù)。當(dāng)然對(duì)具體問(wèn)題，還可結(jié)合有關(guān)化學(xué)規(guī)律，將取值范圍進(jìn)一步縮小，從而討論求解。

例4 現(xiàn)有一種有機(jī)物，它完全燃燒時(shí)消耗氧氣與生成的二氧化碳的體積比為3：4，它具有兩個(gè)羧基，其余的碳原子結(jié)合的原子或原子團(tuán)都相同。取0.2625 g該化合物恰好能與25.00 mL 0.1000 mol·L-1的NaOH溶液完全中和。試確定該化合物的分子式和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式。

解析：由于n（NaOH）=0.1000 mol·L-1×25.00 mL×10-3 L·mL-1= 2.500×10-3 mol

根據(jù)酸堿中和反應(yīng)規(guī)律得

（教育部考試中心2002年高考化學(xué)試測(cè)題4）

解析：

B10C2H12的電子總數(shù)N（e-）=5×10+6×2+1×12=74，

由題意，得5x+y+z=74，

觀察各選項(xiàng)易知，z=2，于是上式可化為5x+y=72。

采用代入驗(yàn)證法，當(dāng)x=12，y=12時(shí)，方程成立，故選D。

例6 合成氨工業(yè)生產(chǎn)中所用的α-Fe催化劑的主要成分是FeO、Fe2O3。

（1）某FeO、Fe2O3混合物中，鐵、氧的物質(zhì)的量之比為4：5，其中Fe2+與Fe3+物質(zhì)的量之比為 。（其余小題略，2006年高考上海卷第30題）

解析：

由上述討論，我們?nèi)菀赘惺艿皆诨瘜W(xué)計(jì)算中靈活運(yùn)用不定方程思想的獨(dú)特魅力！教學(xué)是充滿思想的活動(dòng)，讓最基本的化學(xué)觀念和解決相關(guān)問(wèn)題的思想植根于學(xué)生心中，是中學(xué)化學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)和永恒課題。

當(dāng)下教學(xué)，教師尤其需要堅(jiān)守，不能因?yàn)樽非笫侄桃暤哪繕?biāo)，將本該精彩紛呈的化學(xué)課堂異化為嚴(yán)重挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的“堂堂練”和“題海戰(zhàn)”。為此，教師需要不斷學(xué)習(xí)，讓研究成為工作常態(tài)和習(xí)慣，只有豐富自己的真切體驗(yàn)和感悟，教學(xué)中才可能避免“就題論題”，也才有機(jī)會(huì)點(diǎn)燃學(xué)生思想的火花。讓學(xué)生樹(shù)立不定方程思想，不可能一蹴而就，需要給學(xué)生提供特定的化學(xué)情境和較為充分的時(shí)間體會(huì)、領(lǐng)悟；而精妙靈活的設(shè)未知數(shù)技巧，更需要在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中通過(guò)比較分優(yōu)劣，在后續(xù)的應(yīng)用中積累經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而升華成規(guī)律。

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