例談平面幾何的入門教學(xué)

董健　胡秀清

【關(guān)鍵詞】幾何入門 激發(fā)興趣 概念教學(xué) 識圖教學(xué) 推理論證

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）08B-0058-02

初中平面幾何教學(xué)的成敗，在很大程度上取決于其入門教學(xué)。學(xué)生從初一開始上平面幾何課，此時學(xué)生正處于從兒童期向青春期的過渡階段，生理和心理都發(fā)生著巨大的變化。這個年齡階段的學(xué)生思維結(jié)構(gòu)正逐步形成，但是抽象思維能力還較弱，他們好動，容易對新事物產(chǎn)生興趣但又不穩(wěn)定，刻苦鉆研、堅忍不拔的品質(zhì)尚不成熟。此外，平面幾何與代數(shù)相比，無論是研究對象或研究方法，都有很大的不同，特別是在研究方法上更注重邏輯推理和嚴密論證。

幾何語言具有簡潔、抽象、嚴密的特點。幾何課程的第一部分集中了很多幾何基本概念，如直線、射線、線段、線段中點、角、角平分線等，初學(xué)者容易陷于死記硬背、不求甚解甚至無所適從的被動局面，造成畏難心理?；A(chǔ)打不好，容易成為后續(xù)學(xué)習(xí)平面幾何的障礙。因此教師在教學(xué)過程中必須加強看、畫、聽、讀及簡單的論證訓(xùn)練，用通俗易懂的語言闡明教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生順利度過幾何入門這一關(guān)。

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣

興趣是入門的先導(dǎo)，是學(xué)習(xí)動機的重要心理成分，只有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的興趣，才能為入門教學(xué)創(chuàng)造有利條件。為此，在講解幾何課程《引言》一節(jié)時，教師可以先詳細介紹幾何學(xué)的起源，介紹我們的祖先對幾何學(xué)發(fā)展的貢獻，并舉例說明幾何知識及幾何圖形在生產(chǎn)建設(shè)、日常生活中的廣泛應(yīng)用；然后向?qū)W生提出如下問題：你會畫我們的國旗上的五角星嗎？為什么只要兩根釘子就可以在墻上釘好一根木棒？為什么電視塔結(jié)構(gòu)要采用三角形？為什么自行車的輪子是圓的？一連串有趣的問題讓學(xué)生感受到幾何學(xué)是一門應(yīng)用廣泛并且具有趣味性的學(xué)科，初步建立起學(xué)好平面幾何的信心和求知的欲望。在隨后的教學(xué)中，適時地向?qū)W生介紹：三角形的穩(wěn)定性在日常生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，利用全等三角形、相似三角形的知識測量池塘的寬度等知識。這樣，把課本抽象的知識同實際生活結(jié)合起來，就能進一步增強學(xué)生學(xué)好平面幾何的積極性和自覺性。

二、抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是形象思維到抽象思維的過渡，是學(xué)生學(xué)好幾何的基礎(chǔ)，要保證幾何教學(xué)順利進行，必須使學(xué)生建立清晰明確的幾何概念。

1.通過自制教具，加強直觀教學(xué)

我們知道，概念往往是從客觀事實中抽象出來的，因此講解概念時應(yīng)盡可能從生活、生產(chǎn)的實例引入。以“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”一課為例，進行如下教學(xué)。

預(yù)先做好教具，上課時展示教具并提問學(xué)生：①這三根小木條所構(gòu)成的圖形中共有幾個角？（八個角）隨后，根據(jù)實物，把它抽象成圖形，如圖2。

然后分別標出八個角，如圖3。

②∠1與∠5的位置有何特征？

分析：∠1與∠5分別在直線AB、CD的上方，并且在直線EF的同側(cè)，由此歸納出同位角的定義?！?與∠5呢？∠2與∠5呢？由此歸納出內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，并讓學(xué)生注意區(qū)分這三種角。隨后分別畫出這三種角的基本圖形，幫助學(xué)生判別：

③揭示學(xué)習(xí)要點：三條直線相交；交角；位置關(guān)系。

④識別訓(xùn)練：補充如下的圖形（圖4），請學(xué)生分別說出圖中哪些角是同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角？（用三個大寫的字母表示）

2.對比異同，講清概念

對于易混淆的概念，在教學(xué)中可采用對比分析的方法，找出它們之間的聯(lián)系和本質(zhì)差異，加強對概念的理解和記憶。

如在教學(xué)對頂角和鄰補角時，結(jié)合圖形，進行如下的教學(xué)：

如圖5，∠1與∠3，∠2與∠4是對頂角，它們的特點是：①兩直線相交；②有一個公共頂點；③沒有公共邊。而圖中的∠1與∠2，∠1與∠4，∠2與∠3，∠3與∠4是鄰補角。它們的特點是：①兩直線相交；②有一個公共點；③有一條公共邊。

結(jié)合圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)對頂角與鄰補角的相同之處：都是①兩條直線相交；②有一個公共點。不同之處是：對頂角沒有公共邊，而鄰補角有一條公共邊。為了加深學(xué)生的理解，請學(xué)生回答圖6中的∠1與∠2是不是對頂角？是不是鄰補角？并說明原因。

三、重視識圖教學(xué)，加強圖形語言訓(xùn)練

幾何語言有三種表現(xiàn)形式：文字語言、圖形語言和符號語言。讀懂文字語言，正確地認識圖形，是學(xué)好幾何的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，通過讀、說、寫、畫訓(xùn)練，不僅可以加深學(xué)生對概念的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力。

學(xué)生在入門階段對幾何語言還相當陌生，比如對“任取一點”“有且只有”等幾何術(shù)語往往不能理解透徹，而生活語言對幾何語言又產(chǎn)生負遷移，這又給幾何語言教學(xué)增加了一定的難度。針對這種情況，在平面幾何第一章的教學(xué)中，要求學(xué)生認真聽、認真學(xué)、認真記，模仿教師的幾何語言。如教“直線、射線、線段”一節(jié)時，教會學(xué)生“過點×作直線××，連結(jié)××交××于×點”等幾何術(shù)語，教學(xué)時教師邊講解邊作圖示范，并要求學(xué)生記住范句；然后反復(fù)練習(xí)，教師說學(xué)生畫，教師畫學(xué)生說，通過反復(fù)訓(xùn)練，加深學(xué)生對關(guān)鍵的幾何術(shù)語的理解，并牢固記憶，逐步達到熟練運用的程度。下面舉例說明對學(xué)生進行圖形語言訓(xùn)練的過程。

1.看圖回答

①說出圖7中共有幾條不同的線段？

②圖8中共有幾個不同的銳角？

③圖9中共有幾個不同的三角形？

指導(dǎo)方法：以圖7為例進行說明，按順序?qū)蓚€字母順次讀出：線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共六條線段。

對于圖8、圖9，我們利用多媒體把不同的角、三角形展示出來，并配以不同的顏色，讓學(xué)生能直觀地看懂圖形。

④如圖10，直線AB、CD相交于點O，EO⊥AB，垂足是O，∠1與∠2是 ，∠1與∠3是 ，∠2與∠4是 ，∠4的鄰補角是 。

2.看圖敘述

在黑板上畫出圖形，要求學(xué)生把幾何圖形譯成幾何語言與符號語言。

①如圖10，幾何語言表述為：點O是線段AB的中點；符號語言表述為：AO=BO，或AO=BO=AB，或AB=2AO=

2BO。

②如圖11，幾何語言表述為：直線AB與直線CD垂直相交于點O，或直線AB與直線CD互相垂直，垂足為O；符號語言表述為：AB⊥CD于點O。

3.根據(jù)幾何語言，正確地畫出圖形

幾何語言是理解概念、認識圖形并進行推理的工具，對于常用幾何術(shù)語：延長線段 到點 ，使 = ，過點 作 ⊥ ，垂足為 ，連結(jié) 。教學(xué)時應(yīng)對照作圖過程演示講解，然后要求學(xué)生模仿練習(xí)，以明其意。

四、由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生正確推理論證

命題的證明是幾何入門的難點，從對推理過程的模仿到獨立書寫推理過程，是對推理證明由感性認識上升到理性認識的過程。正因為一開始學(xué)生對推理過程的認識是感性的，所以對推理證明的教學(xué)從模仿開始，能取得較好的效果。為此我采取以下做法：

1.模仿性論證

開始階段，選用一些簡單的證明題，由教師事先寫出證明過程，讓學(xué)生填寫推導(dǎo)的理由，并說出有幾層因果關(guān)系。

3.變式訓(xùn)練

例：如圖14，已知點C、D在直線AB上，AB=CD。求證：AC=BD。

教師證明后可將此題改為：若已知AC=BD，求證：AB=CD。讓學(xué)生思考證明方法。通過變式訓(xùn)練，可逐步提高學(xué)生的思維能力和推理論證能力。

4.獨立完成證明

學(xué)生通過反復(fù)模仿，逐步掌握證明過程后，教師可以鼓勵學(xué)生自己分析、探索證明方法，獨立完成證明，真正達到入門。

例：如圖15，已知B、C、D在同一直線上，CE∥AB，∠A=∠B。求證：CE平分∠ACD。

注：教學(xué)時，教師可先幫助學(xué)生分析解題思路，但要求學(xué)生獨立寫出證明過程，然后根據(jù)練習(xí)情況進行講評。講評時可請個別學(xué)生把思維過程敘述出來，讓能正確寫出推理過程的同學(xué)感受成功的喜悅，同時使其他同學(xué)得到啟發(fā)。證明的方法可能不止一種，鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，從不同角度思考，用多種方法解題。

在平面幾何的入門教學(xué)中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在概念、語言、圖形、推理等的教學(xué)上下功夫，使學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，才能提高平面幾何入門教學(xué)的效果，為學(xué)生后續(xù)更深入地學(xué)習(xí)平面幾何打下扎實的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 易惠娟）