基于ARMA模型的恩格爾系數(shù)的分析與預(yù)測

蔣和

摘 要：恩格爾系數(shù)是衡量居民消費(fèi)水平的重要指標(biāo)，而居民消費(fèi)水平可以反映一個國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r?；?978-2011年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)的時間序列，建立ARMA模型，用Eviews軟件進(jìn)行擬合，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并給出2012-2013年的預(yù)測值，預(yù)測結(jié)果表明我國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)將進(jìn)一步降低。

關(guān)鍵詞：恩格爾系數(shù)；時間序列；ARMA模型；預(yù)測

中圖分類號：F126.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A doi：10.3969/j.issn.1672-3309（x）.2013.08.61 文章編號：1672-3309（2013）08-133-03

改革開放以后，我國經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展，我們可以通過一些計量指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)規(guī)律，對我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出分析和預(yù)測。其中，德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯特·恩格爾提出的恩格爾系數(shù)（Engel's coefficient），即食品支出占全部生活消費(fèi)支出的比重，被世界各國廣泛采用，主要用于衡量一個國家或地區(qū)居民的生活水平。恩格爾系數(shù)越大，一個家庭或國家越貧困；恩格爾系數(shù)越小，生活越富裕。根據(jù)國際糧農(nóng)組織提出的標(biāo)準(zhǔn)，恩格爾系數(shù)大于60%屬于貧窮，50%-59%屬于溫飽，40%-49%屬于小康，30%-39%屬于富裕，30%以下屬于最富裕。

ARMA模型是一種確定型時間序列模型預(yù)測方法，其預(yù)測精度高于簡單模型。本文結(jié)合1978-2011年中國農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用ARMA模型建模，并進(jìn)行預(yù)測，從而推斷其未來趨勢。

一、ARMA模型概述

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），即自回歸移動平均模型，是由美國統(tǒng)計學(xué)家Box和英國統(tǒng)計學(xué)家JenkinsGM于20世紀(jì)70年代提出的時間序列分析模型，又稱為Box-Jenkins模型。ARMA模型有3種基本類型，分別是

（1）n階自回歸模型（Auto Regressive Model），簡稱AR（n）模型：

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（2）m階移動平均模型（Moving Average Model），簡稱MA（m）模型：

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（3）n階自回歸m階移動平均模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），簡稱ARMA（n，m）模型：

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二、ARMA模型的建立

（一）數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

表1為1978-2011年中國農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)，共34個樣本。

表1 1978-2011年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)

數(shù)據(jù)來源：《中國統(tǒng)計年鑒》。

根據(jù)表1的時間序列數(shù)據(jù)，運(yùn)用Eviews6分別作出中國農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)的時間序列圖，分別記為序列{Xt}和序列{Yt}。

圖1 1978-2011年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)變化趨勢

由圖1所示，自改革開放以來，我國農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù){Xt}和城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù){Yt}均呈現(xiàn)下降的趨勢，故序列均為非平穩(wěn)序列，需對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，一階差分后的序列圖如圖2所示。

圖2 一階差分后的序列圖

由圖2可以看出差分后的序列大致是平穩(wěn)的，進(jìn)一步地，需要通過ADF檢驗對一階差分后的序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，ADF檢驗結(jié)果如圖3、圖4所示，經(jīng)檢驗可知，ADF t-Statistic值分別為-5.255045和-4.657677，其絕對值大于顯著水平為1%的臨界值，故拒絕原假設(shè)，即數(shù)據(jù)一階差分后是平穩(wěn)的。

表2 序列{Xt}的ADF檢驗

表3 序列{Yt}的ADF檢驗

（二）模型定階

模型的階數(shù)可以通過平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏相關(guān)函數(shù)（PACF）來確定。若平穩(wěn)序列xt是自相關(guān)函數(shù)是拖尾的且偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則序列xt是AR序列；若平穩(wěn)序xt的自相關(guān)函數(shù)是截尾的而偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則序列xt是MA序列；若平穩(wěn)序列xt的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則序列xtt是ARMA序列。

一階差分后序列{DYt}的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖都沒有明顯的截尾性，故應(yīng)建立ARMA模型。采用Akaike提出的AIC準(zhǔn)則和Schwartz提出的SC準(zhǔn)則，對序列{DYt}的ARMA模型進(jìn)行逐步比較定階。由于經(jīng)濟(jì)變量一般都為1階或2階ARMA模型，因此選取4種模型進(jìn)行比較，這4種模型分別為ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）。

利用Eiews軟件分別建立ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）模型，把4個模型的檢驗結(jié)果匯總列入表4。比較可知ARMA（1，1）模型的AIC值和SC值均最小，決定系數(shù)R2較大，所以選擇ARMA（1，1）模型，并估計其參數(shù)，結(jié)果見表5。

表4 模型檢驗結(jié)果

表5 參數(shù)估計結(jié)果

最終建立的模型為 <＼＼Ww-329725167ea5＼本地磁盤 （E）＼jjsj＼2013年排版＼201308＼130852.tif>

對于序列{DXt}，選取ARMA（2，2）模型對農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)趨勢進(jìn)行擬合，其參數(shù)估計及檢驗結(jié)果見表6，最終建立的模型為

<＼＼Ww-329725167ea5＼本地磁盤 （E）＼jjsj＼2013年排版＼201308＼130853.tif>

表6 模型參數(shù)估計及檢驗結(jié)果

（三）模型預(yù)測

為檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測結(jié)果，用所建立的2個模型對其相應(yīng)的恩格爾系數(shù)2009-2011年進(jìn)行預(yù)測，得到的預(yù)測值與實際值相比（見表7），其誤差在2.5%內(nèi)，即模型的精度較高，其預(yù)測結(jié)果比較準(zhǔn)確。進(jìn)而利用這兩個模型對2012-2013年的恩格爾系數(shù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表8。

三、結(jié)論

研究結(jié)果表明，通過對農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)及城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)數(shù)據(jù)的分析，得到基于ARMA模型的恩格爾系數(shù)的分析與預(yù)測模型。我國居民家庭恩格爾系數(shù)均呈下降趨勢，模型預(yù)測的結(jié)果表明其將在未來幾年進(jìn)一步降低。然而，我們也可以看出城鄉(xiāng)的消費(fèi)差距始終處于較高的水平且在未來幾年無法得到根本性的縮小。此外，全國各地消費(fèi)習(xí)慣不盡相同，例如在發(fā)達(dá)城市，居民食品消費(fèi)更加注重飲食的營養(yǎng)性、飲食結(jié)構(gòu)的科學(xué)性和食品搭配的合理性，休閑食品、營養(yǎng)保健食品的消費(fèi)在整個食品支出的比重越來越大，因此基于恩格爾系數(shù)的分析結(jié)果有其局限性。所以我們在利用恩格爾系數(shù)進(jìn)行分析時，對于不同地區(qū)、不同時期的居民生活水平，應(yīng)注意到居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化對于恩格爾系數(shù)的影響并進(jìn)行深入的研究，進(jìn)而得到更加具體的結(jié)論。

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