非退化二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其切線方程的統(tǒng)一性

張金軍

摘 要： 二次曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，該題型的靈活性較強(qiáng)，大部分同學(xué)對這一問題深感頭痛.所以，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，從教師到學(xué)生，都應(yīng)該以一種研究探索的精神學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容.本文對非退化二次曲線的切線問題進(jìn)行了歸類比較，得出了簡單的公式.

關(guān)鍵詞： 非退化二次曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 切線方程

高中數(shù)學(xué)中解析幾何這部分內(nèi)容里常有計算曲線的切線類問題，通用的方法是用代入法，即先把直線方程代入曲線方程，消去一元y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式△=0確定切線斜率，展開運算.這種方法運算量相當(dāng)大，很容易出錯.下面對非退化二次曲線的切線問題進(jìn)行歸類比較，得出簡單的公式，可以幫助我們輕松地解決此類問題.

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x■+y■=R■，過圓上一點P（x■，y■）的切線方程為xx■+yy■=R■.

這個結(jié)論容易證明.

證明：∵直線OP的斜率K■=■

∴過P點的切線方程為：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）

整理得xx■+yy■=R■.

圓的切線可以用求導(dǎo)函數(shù)的方法求斜率，但根據(jù)垂直二線的斜率積為-1，再利用過切點的半徑與切線垂直這一性質(zhì)，就更加容易了.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1，過橢圓上一點P（x■，y■）的切線方程我們猜想為■+■=1.

證明：曲線在第一象限部分的函數(shù)方程為y=b■

求導(dǎo)得：y′=-■■

過P的切線斜率為k=-■■

過P點的切線方程為：y-y■=-■■（x-x■）

又∵■+■=1

整理化簡得■+■=1

和拋物線一樣，橢圓在第二、三、四象限部分的函數(shù)解析式略有不同，其證明方法相同.焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1，其切線方程為■+■=1.

3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為■-■=1，過雙曲線上一點P（x■，y■）的切線方程為■-■=1.

證明方法和橢圓的切線一樣.焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為■-■=1，曲線的切線方程為■-■=1.

4.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y■=2px，過拋物線上一點P（x■，y■）的切線方程為yy■=px+px■.

證明：如圖，不妨取P（x■，y■）為第一象限點

曲線在第一象限部分的函數(shù)方程為y=■x■

求導(dǎo)得：y′=■■x■

∴過P的切線斜率為k=■

∴過P點的切線方程為：y-y■

∴=■（x-x■）

又∵y■■=2px■

整理化簡得yy■=px+px■.

這個結(jié)論是把標(biāo)準(zhǔn)方程為y■=2px化為y■=px+px之后，就容易想到了.證明中省略了對第四象限的部分，其證明方法相同.

另外，對其他幾種標(biāo)準(zhǔn)方程也可以對比記憶：拋物線y■=-2px的切線為yy■=-px-px■拋物線x■=2py的切線為xx■=py+py■拋物線x■=-2py的切線為xx■=-py-py■我們可以把這一結(jié)果作為公式教給學(xué)生，在記住拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，這個公式很容易記住.

數(shù)學(xué)是嚴(yán)密的，這里曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其切線方程的形式是如此的統(tǒng)一，如此的美麗.