有限元法的后置處理

郭小蘭

摘 要： 有限元法是求解復(fù)雜工程問題的一種近似數(shù)值分析方法，廣泛用于工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。有限元法的分析輸出結(jié)果評(píng)估，即后置處理是有限元法的重要內(nèi)容，其主要功能是利用圖形技術(shù)顯示有限元分析的輸出結(jié)果。

關(guān)鍵詞： 有限元法 后置處理 網(wǎng)格圖 應(yīng)力應(yīng)變圖

有限元法是一種求解復(fù)雜工程問題的一種近似數(shù)值分析方法，它所分析的區(qū)域具有任意形狀、載荷和邊界條件；可以使用不同類型、形狀和物理性質(zhì)的單元。有限元網(wǎng)格與真實(shí)結(jié)構(gòu)具有高度的物理相似，不是難以形象化的數(shù)學(xué)抽數(shù)，易為工程技術(shù)人員所理解[1]。有限元法的后置處理是通過直觀的圖形描述有限元分析的結(jié)果，以便對(duì)其進(jìn)行分析、檢查和校核。后置處理輸出的圖形包括網(wǎng)格、靜態(tài)變形、振型、應(yīng)力及應(yīng)變等。

1.網(wǎng)格圖

網(wǎng)格圖的簡(jiǎn)單顯示可用線框來繪制。例如，四邊形單元由四條邊顯示，六面體單元出十二條邊顯示等。所以，繪制出單元每條邊即繪制出了網(wǎng)格圖。當(dāng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)增多，或采用三維實(shí)體單元時(shí)，很難看出結(jié)構(gòu)的幾何形狀，所以有時(shí)必須對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行消隱處理，使網(wǎng)格圖表達(dá)的意義更明確。

消隱處理方法的基本原理是：空間物體各個(gè)面在投影平面上投影后產(chǎn)生重疊，這樣，某些面可能被其他面全部或部分遮擋，而變得全部或部分不可見。將相互重疊的部分根據(jù)邊界相交劃分為多個(gè)子區(qū)域，相應(yīng)物體表面的線段被劃分為多個(gè)子線段；每個(gè)子線段非端點(diǎn)上的任意點(diǎn)可見性即代表該于線段的可見性，通常取于線段的中點(diǎn)來判斷[2]。

在有限元網(wǎng)格圖消隱中，如果對(duì)每條線段和每個(gè)面進(jìn)行上述的運(yùn)算，則計(jì)算量是相當(dāng)大的。對(duì)全為三維實(shí)體單元的網(wǎng)格，判斷線段和面是否應(yīng)該參與運(yùn)算可按如下方法進(jìn)行。

（1）從給定節(jié)點(diǎn)向任一方向作射線，穿過形體表面的次數(shù)若為奇數(shù)，則表明該節(jié)點(diǎn)處于形體內(nèi)部，因面與此節(jié)點(diǎn)相連的線段及面不必參與運(yùn)算。這種方法必須基于幾何模型，即已知形體的表面。

（2）若與給定節(jié)點(diǎn)相連的每個(gè)單元面皆為兩個(gè)單元的公共面，則與此節(jié)點(diǎn)相連的線段和面不必參與運(yùn)算。

根據(jù)有限元模型的特殊性，可以用深度優(yōu)先的方法進(jìn)行消隱處理。根據(jù)深度由大到小依次用區(qū)域填充的方法繪出每個(gè)單元，深度小的單元覆蓋深度大的單元，這樣即得到了消隱效果。但是，這種方法在某些地方（如單元尺寸相差太大，而單元又是相鄰的情況下）會(huì)產(chǎn)生不太理想的效果，即產(chǎn)生不正確的消隱。

2.節(jié)點(diǎn)位移的描述

用結(jié)構(gòu)的變形圖來描述節(jié)點(diǎn)位移比較直觀。變形圖可以表示結(jié)構(gòu)在靜載下的位移和自由振動(dòng)的振型。顯示變形圖與顯示網(wǎng)格圖的方法相似，所不同的是節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置發(fā)生了變化，變形后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：X=X■+△X （1）

（1）式中，X■為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，△X為變形量。

一般情況下，變形量相對(duì)于結(jié)構(gòu)尺寸很小，為了反映結(jié)構(gòu)的變形。坐標(biāo)值可按下式得到：

X=X■+α△X （2）

（2）式中α為放大系數(shù)。取合適的α值，即可得到表達(dá)明確的變形圖。為了比較變形前與變形后的結(jié)構(gòu)，可將它們重疊顯示。

振型圖繪制與變形圖繪制相似，為了得到動(dòng)態(tài)的視覺效果，可以繪制一組相應(yīng)的變形圖，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：

X■=X■+αsin（■i）△X （3）

（3）式中.N為顯示圖幅數(shù)，i=0，1，…，N-1，△X為振型向量，但不包括轉(zhuǎn)角。

有時(shí)可能關(guān)心結(jié)構(gòu)上某些節(jié)點(diǎn)的變形情況，這時(shí)可以用二維坐標(biāo)圖表示結(jié)構(gòu)的變形情況。例如，用橫坐標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的位置，縱坐標(biāo)表示變形量。

3.應(yīng)力圖和應(yīng)變圖

應(yīng)力面和應(yīng)變圖一般較多地采用等值線來描述，并且只需要繪制結(jié)構(gòu)的表面或某一方向的應(yīng)力和應(yīng)變。設(shè)最大和最小應(yīng)力和應(yīng)變值為π■和π■，等值線數(shù)為N>2，則等應(yīng)力值或等應(yīng)變值可以按下式確定。

π■=（π■+π■）Q■-π■（i=1，…，N） （4）

（4）式中π為基準(zhǔn)平移值，保證π■+π■>0，Q為應(yīng)力降低系數(shù)。

Q=（■）■ （5）

等值線的繪制方法是：在結(jié)構(gòu)表面或戴面上利用插值方法得到離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，將單元坐標(biāo)系下的數(shù)值，變換到整體坐標(biāo)系下。確定繪制等值線的值，通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行搜索、提取，即可得到等值點(diǎn)，用等值線跟蹤的辦法即可繪出等值線。等值線應(yīng)該既不相交又不分叉。

4.結(jié)語(yǔ)

后置處理是在有限元分析后，實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算結(jié)果的顯示與繪圖，即在計(jì)算機(jī)屏幕上動(dòng)態(tài)顯示受載構(gòu)件的變形過程及應(yīng)力、應(yīng)變分布，從而使操作人員能夠很快地估計(jì)出所建有限元模型的變形情況，為了解決從設(shè)計(jì)到制造過程中存在的瓶頸，必須重視和解決有限元的后置處理程序。

參考文獻(xiàn)：

[1]梅中義，范玉青，胡世光.有限元分析前、后置處理系統(tǒng)[J].航空制造工程，1996（3）.

[2]孫靖民.現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)方法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.