一類非線性偏微分方程弱解的存在性

袁桓

摘 要：解的存在性和正則性是偏微分方程研究的重要課題.古典解往往難以直接到達，數(shù)學上定義了可微性弱一點的強解和弱解，并發(fā)展了先求證強解或弱解的存在性，在利用先驗估計提升正則性的方法.該文將證明一類非線性偏微分方程弱解的存在性.

關(guān)鍵詞：Banach不動點定理 弱解存在性 非線性偏微分方程

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）03（c）-0-01

取足夠小，則有，故是壓縮映射。由Banach不動點定理，知存在唯一不動點。定理得證。

3 結(jié)語

由此，我們看到，形如（1）的二階非線性偏微分方程在一定條件限制下存在唯一的弱解。事實上，對于各種具體的情況，我們還可以利用各種正則性估計理論將這個弱解的正則性提高，從而使得這個解滿足二次可微的性質(zhì)。這樣的話，就得到物理和實際上需要的強解。滿足了強解的存在性的話，上述證明事實上也給出了利用迭代構(gòu)造一個可以逼近這個強解的收斂函數(shù)列的方法。在現(xiàn)實情況中，我們只需要取這個函數(shù)列的前面幾項，就可以得到合乎足夠精度要求的數(shù)字解。這也是計算數(shù)學中常用的方法。但是，這樣一個解釋存在的是可以做數(shù)值逼近的前提條件。這就是理論數(shù)學研究的范疇。

參考文獻

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