需要·過程·價(jià)值·思想

姚偉均

摘 要：應(yīng)用題是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的經(jīng)典板塊，也是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。在有些學(xué)生的認(rèn)知觀念里，應(yīng)用題有時(shí)甚至還成為“數(shù)學(xué)”的代名詞?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將傳統(tǒng)的應(yīng)用題改名為解決問題，主要是讓小學(xué)數(shù)學(xué)教師不要被原有的應(yīng)用題所束縛。換成新的表達(dá)方式，能夠更好地反映小學(xué)數(shù)學(xué)課程所應(yīng)該追求的目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。昔日應(yīng)用題教學(xué)與今天解決問題教學(xué)不僅僅是名稱上的不同，從教材的內(nèi)容編排、呈現(xiàn)方式到教學(xué)目標(biāo)，從教師的教學(xué)方式到學(xué)生的學(xué)習(xí)方式上都有了顯著的變化。

關(guān)鍵詞：小學(xué)；應(yīng)用題；策略；途徑

一、分析“解決問題的策略”教學(xué)目標(biāo)的定位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神?！被谛抡n標(biāo)解決問題的策略教學(xué)時(shí)提出的教學(xué)目標(biāo)與傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)相比應(yīng)有以下幾方面的區(qū)別。

1.素材處理

應(yīng)用題基于“解題”這一目標(biāo)出發(fā)，將已整理好不多不少的已知條件和問題直接呈現(xiàn)給學(xué)生，結(jié)論有確定性的唯一結(jié)論，學(xué)生的任務(wù)就是解題。而處理解決問題策略的教學(xué)素材時(shí)，很多素材中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，如果僅從解決問題的角度，也許可以采用多種方法解決，甚至本課要學(xué)習(xí)的策略或許還不是最佳策略，而是透過學(xué)習(xí)素材本身并通過解決問題的過程所形成的相關(guān)策略。

2.過程與方法

傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)將應(yīng)用題歸成類，集中一類問題進(jìn)行思考，學(xué)生思維以模仿為主，思路訓(xùn)練模式化，強(qiáng)調(diào)速度和技巧，而解決問題直接指向的是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“過程和方法”目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)的是尋求解決數(shù)學(xué)問題的途徑與方法的活動(dòng)過程，可以通過實(shí)踐、思考、探索、交流等，使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，逐步學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)。

3.價(jià)值取向

傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)往往是結(jié)合某一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)來獲取新技能的一種手段，通過問題來引入、復(fù)習(xí)、鞏固和評估數(shù)學(xué)知識(shí)，從而獲得新技能，而新課標(biāo)教材中的解決問題的價(jià)值不只是單純?yōu)榱双@得某一具體的結(jié)論，而是使學(xué)生在解決問題過程中所運(yùn)用的策略達(dá)到深刻理解和掌握的水平，從而達(dá)到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，感受相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的意義為主要價(jià)值取向。

二、落實(shí)“解決問題的策略”教學(xué)目標(biāo)的途徑

由于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“解決問題的策略”教學(xué)目標(biāo)不同于傳統(tǒng)教材中的應(yīng)用題教學(xué)。從這個(gè)目標(biāo)來看，學(xué)會(huì)解題僅是解決問題整體目標(biāo)中的一個(gè)組成部分。那么在教學(xué)過程中，如何落實(shí)“解決問題的策略”教學(xué)目標(biāo)呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勱P(guān)于新課程下落實(shí)“解決問題的策略”教學(xué)目標(biāo)的一些思考。

1.學(xué)習(xí)素材追尋策略產(chǎn)生的需要

新課程人教版中解決問題的素材情境呈現(xiàn)信息的方式是多樣的，有以主題情境圖的形式呈現(xiàn)的，也有以文字形式呈現(xiàn)的，更多的是以圖文結(jié)合的形式呈現(xiàn)的；素材的呈現(xiàn)方式有直接提出問題的，有用對話出示的，還有請學(xué)生自己提出數(shù)學(xué)問題的。于是，如何將雜亂的學(xué)習(xí)素材進(jìn)行有條理地整理？如何根據(jù)所提供的素材去尋找相關(guān)信息就成為解決問題的重要策略。在教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該從“策略”的角度來教學(xué)解決問題，即我們所選的學(xué)習(xí)素材能讓學(xué)生在解決問題的過程中產(chǎn)生尋求這一策略的需要。

例：《簡單的組合》（人教版三年級上冊）

教材以畫圖的策略整理信息作為教學(xué)的切入口。例題以中國隊(duì)參加的2002年世界杯足球賽為背景，中國隊(duì)所在的C組共有四個(gè)國家足球隊(duì)，小組賽時(shí)每兩個(gè)隊(duì)踢一場比賽，一共要踢多少場為素材，讓學(xué)生用畫圖的策略整理信息，學(xué)習(xí)有順序地全面思考問題的方法，體會(huì)畫圖策略對解決問題的作用。在教學(xué)時(shí)，解決問題不是最終目標(biāo)，讓學(xué)生在解決問題的過程中逐步掌握有順序地、全面地思考問題的方法才是教學(xué)的落腳點(diǎn)。因此，在例題教學(xué)時(shí)可以按照“觀察猜測→畫圖驗(yàn)證”為活動(dòng)線索，重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷有條理的思考過程，理解畫圖的結(jié)構(gòu)，并通過畫圖引發(fā)解題思路，找到解題方法。

在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，要遵循“學(xué)習(xí)素材追尋策略產(chǎn)生的需要”為目標(biāo)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)會(huì)畫圖策略，并逐漸養(yǎng)成有條理、全面地思考問題的習(xí)慣。而且，在學(xué)習(xí)畫圖的策略時(shí)，也需要靈活和簡化。例如，在教學(xué)上述例題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生逐步簡化畫圖的形式，甚至以符號化的方式進(jìn)行表示，即從有形的圖示過渡到無形的圖示，逐漸提升學(xué)生畫圖的符號化水平（如下圖）。

可見，在教學(xué)“解決問題的策略”時(shí)，首要的目標(biāo)不是解決問題本身，不是解決問題的具體方法，也不是解決問題的類型，而是透過學(xué)習(xí)素材本身并通過解決問題的過程所形成的相關(guān)策略。

2.親身經(jīng)歷追尋策略形成的過程

對解決問題過程的關(guān)注，意味著對學(xué)生在解決問題過程中思維參與的關(guān)注。有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。因此，在解決問題策略教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷策略的形成過程是必須追求的重要目標(biāo)。

教學(xué)解決問題的策略時(shí)，如何讓學(xué)生不斷親身經(jīng)歷策略的形成過程呢？這首先需要教師對學(xué)習(xí)內(nèi)容的正確理解和對學(xué)習(xí)過程的精心設(shè)計(jì)。

例：《雞兔同籠》（人教版六年級上冊）

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教師首先可以讓學(xué)生用最“樸素”的想法——猜測。分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗(yàn)證腳的只數(shù)是否對應(yīng)，通過這種不斷地猜測、嘗試，最終找到答案。再將學(xué)生猜測、驗(yàn)證所得的結(jié)果，繪制成表格，使得列表自然生成，這樣可以幫助學(xué)生按順序?qū)ふ掖鸢?，但?dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，過程頗為繁瑣。

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在應(yīng)用列表的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考更具有邏輯性和一般性的解法，組織學(xué)生“自主探索→探究驗(yàn)證→建立模型→靈活應(yīng)用”，讓學(xué)生通過假設(shè)開展畫圖、敘說、推想、驗(yàn)證、比較、概括等豐富多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，完整地經(jīng)歷假設(shè)策略的形成過程。這樣的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻等方面發(fā)生巨大變化，學(xué)生的思維能力也得到極大的提升。

特別需要指出的是，假設(shè)有多種思路，除假設(shè)籠子里都是雞或者都是兔的方法外，抬腿法也是假設(shè)法的一種。每種思路還可以附以形象的解釋，如讓所有的兔子都抬起兩只前腳，實(shí)際上就是把籠子里的動(dòng)物都看成雞。當(dāng)然，還可以假設(shè)雞也有4只腳，把籠子里的動(dòng)物都看成兔子。還有相當(dāng)一部分學(xué)生可能會(huì)選擇用列方程的方法來解決該類問題，設(shè)雞或兔任何一個(gè)量為x，然后根據(jù)雞、兔的只數(shù)與腳的總只數(shù)的關(guān)系列出方程并進(jìn)行解答。這種方法思路清晰，易于理解，教學(xué)中教師應(yīng)注意讓學(xué)生體會(huì)方程解法的一般性。這樣的探究性學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對假設(shè)策略的認(rèn)知水平達(dá)到精加工狀態(tài)，有利于學(xué)生假設(shè)思考的數(shù)學(xué)化和模型化，從而形成對假設(shè)策略的本質(zhì)理解。

3.體驗(yàn)反思追尋策略應(yīng)用的價(jià)值

策略的有效形成必然伴隨著對自己行為的不斷體驗(yàn)與反思。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對自己解決問題的過程進(jìn)行體驗(yàn)與反思，更重要的是作為教師和學(xué)生，都應(yīng)該反思解決問題策略的價(jià)值到底是什么，為什么要使用這種策略，怎樣使用這種策略，使用策略有什么好處，在什么情況下使用該策略，等等。這樣的反思不僅有利于提高學(xué)生對自身形成策略過程的認(rèn)識(shí)，更有利于每個(gè)學(xué)生獲得對問題的深入理解，并深深體驗(yàn)到作為策略的獨(dú)特價(jià)值。

在教學(xué)中，可以通過每一個(gè)問題的解決讓學(xué)生不斷回顧解題過程，讓學(xué)生比較策略，使用前后的數(shù)量特征，讓學(xué)生探尋策略，使用中的數(shù)量變化情況等等。例如，在教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)，從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗(yàn)證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從列表法自然聯(lián)想到假設(shè)法、代數(shù)法后，應(yīng)該組織學(xué)生反思和比較，著力思考“為什么需要假設(shè)策略”“假設(shè)的依據(jù)到底是什么”“假設(shè)之后數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化”等問題，在體驗(yàn)與反思中逐步建構(gòu)假設(shè)策略的數(shù)學(xué)模型。進(jìn)而使學(xué)生初步體會(huì)到假設(shè)策略的價(jià)值——要求兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，思考時(shí)可以先假設(shè)要求的兩個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)相等，或者先假設(shè)兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的已知條件進(jìn)行推算，并對照已知條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，最后找到答案。在例題教學(xué)之后，應(yīng)該直接進(jìn)行比較和反思，還可以繼續(xù)通過例題變式性練習(xí)和鞏固應(yīng)用性練習(xí)，讓學(xué)生在運(yùn)用策略解決問題的之前和之后，不斷體驗(yàn)到假設(shè)策略的獨(dú)特優(yōu)勢——使復(fù)雜的問題簡單化。這樣的學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)，學(xué)生不僅獲得了解決同類問題的成功經(jīng)驗(yàn)，更重要的是不斷增強(qiáng)了運(yùn)用假設(shè)策略解決問題的自覺性，從而體會(huì)到了作為策略的應(yīng)用價(jià)值。

4.不斷積累提升策略的數(shù)學(xué)思想

“解決問題的策略”不僅僅對應(yīng)的是某種具體的方法，其背后蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)基本思想或方法，對策略的教學(xué)不能認(rèn)為只是一種知識(shí)性教學(xué)，而是對其的理解必須上升到數(shù)學(xué)基本思想或方法上來。不過，方法和策略的獲得并不是教學(xué)的終極目的，我們應(yīng)該通過策略的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受解題策略價(jià)值，提升數(shù)學(xué)思想方法。

例：《梯形的面積》（人教版五年級上冊）

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作為五年級的學(xué)生，已經(jīng)積累了比較多的解決問題的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)（包括解決問題的基本方法和策略），從某種意義上說，此處教學(xué)的《梯形的面積》其實(shí)是解決問題時(shí)經(jīng)常采用的一種方法——“轉(zhuǎn)化”，能把較復(fù)雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經(jīng)解決的問題。轉(zhuǎn)化的手段和具體方法是多樣而靈活的，既與實(shí)際問題的內(nèi)容和特點(diǎn)有關(guān)，也與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)。通過前幾冊教材的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)大量積累了應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”策略來解決問題的經(jīng)驗(yàn)。而且，從教材的編排流程可以看出，“轉(zhuǎn)化”作為解決問題的一種常用策略，是學(xué)生靈活運(yùn)用多種方法（如畫圖、代換等）解決問題的過程中感悟獲得的。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生所遇到問題的類型在不斷變換，而解決這些不同類型問題的策略卻始終如一，學(xué)生對轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用越來越熟，對策略的理解也越來越深，從而形成“化歸”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想。

綜上所述，在教學(xué)“解決問題的策略”時(shí)，我們應(yīng)選擇服務(wù)于策略需要的相關(guān)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷策略的形成過程，不斷反思作為策略的價(jià)值，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。由此可見，“解決問題的策略”不能以解決教材中的問題為目的，更不能把會(huì)利用策略解決某一具體問題作為教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)用策略解決問題的過程中，體會(huì)策略的實(shí)質(zhì)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔企平，張維忠.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].北京高等教育出版社，2002.

[2]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海教育出版社，2002.

[3]李星云.小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的思想方法[J].廣西教育，2006（5）.

[4]曹文，李瑞龍.對數(shù)學(xué)課程中解決問題的探討[J].云南教育，2006（9）.

（作者單位 浙江省諸暨市店口鎮(zhèn)第一小學(xué)）

編輯 韓 曉