數(shù)列中的存在性問題研究

朱麗萍

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容，也是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.一方面考察的是數(shù)列的基本內(nèi)容，包括理解等差、等比數(shù)列的概念并能利用定義證明，掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；另一方面主要考察分析、探究及邏輯推理的能力，主要是一些探索性結(jié)論的證明及數(shù)列不等式.本文就其中的一類——存在性問題進(jìn)行分析研究，旨在探索解題規(guī)律，揭示解題方法.

數(shù)列中存在性問題通常是給出一個(gè)結(jié)論，然后讓我們來探究是否存在，若存在則求出結(jié)果，不存在則說明理由.這類問題的基本解題方法是反證法，其格式為先假設(shè)命題結(jié)論中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在，在這個(gè)前提下根據(jù)已有的條件、定理、性質(zhì)、公理等進(jìn)行推理和計(jì)算.若得出矛盾，則說明假設(shè)不成立，這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象不存在，若存在則可以解出需要的結(jié)果.解該類問題對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.下面結(jié)合具體實(shí)例，來分析存在性問題證明中的若干方法.

一、利用數(shù)的奇偶性證明存在性

例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+Sn=2.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 求證：數(shù)列{an}中不存在任意三項(xiàng)按原來順序排列后成等差數(shù)列.

解析：（1）已知an與Sn的關(guān)系式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，是學(xué)生熟練的題型，容易求出an=12n-1.

（2） 假設(shè)存在{an}中的任意三項(xiàng)ap，aq，ar（p

所以等式的左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，等式不成立.

所以數(shù)列{an}中不存在任意三項(xiàng)按原來順序排列后成等差數(shù)列.

說明：該題主要是根據(jù)等式“22-q=21-p+21-r”說明這樣的p，q，r是否存在，直接求出是不可能的，所以根據(jù)這3項(xiàng)都以2為底，利用奇數(shù)、偶數(shù)不可能相等的事實(shí)，將表達(dá)式轉(zhuǎn)換到2r-q+1=2r-p+1來處理.

二、利用數(shù)為正整數(shù)求解存在性

例2已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，且滿足a2n=S2n-1，令bn=1an·an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；

（2） 是否存在正整數(shù)m，n （1

說明：這題的關(guān)鍵是在得出n=2m2-2m2+4m+1后，根據(jù)1

例3設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2，數(shù)列{bn}滿足bn=anan+m（m∈N*），問：是否存在m，使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt，滿足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差數(shù)列？若存在，指出符合題意的m的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

所以存在符合題意的m共9個(gè).

說明：這題與例2的基本思想是一樣的，將t用m來表示，根據(jù)字母t的特征“t∈N*，t≥5”，所以m-5必須能被36整除.本題中得到t=7+36m-5是關(guān)鍵，然后利用整除性即可解決.

三、利用基本不等式證明存在性

例4已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=35，an+1=3an2an+1 （n∈N*）.

（1） 求證：數(shù)列{1an-1}為等比數(shù)列；

（2） 是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使得m，s，n成等差數(shù)列且am-1，as-1，an-1成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）易證1an-1是以23為首項(xiàng)，13為公比的等比數(shù)列.

（2） 由（1）可以求出an=3n3n+2，

所以an-1=-23n+2.

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使得m，s，n成等差數(shù)列，且am-1，as-1，an-1成等比數(shù)列，

而m，n，s為互不相等的正整數(shù)，所以等號(hào)不成立.

所以不存在這樣的正整數(shù)m，s，n符合條件.

說明：該題主要根據(jù)基本不等式的“一正、二定、三相等”，由于2s=m+n，所以利用基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立的解題思路，學(xué)生上手也比較容易.

四、利用函數(shù)思想求解存在性

例5設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{Sn}是公差為d的等差數(shù)列.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；

（2） 是否存在常數(shù)c，對(duì)滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立.若存在，請(qǐng)求出c的取值范圍；不存在，則說明理由.

解析： （1）由題意可求出a1=d及Sn=a1+（n-1）d，得d>0，Sn=n2d2.

（2）假設(shè)存在c使得Sm+Sn>cSk成立，則m2d2+n2d2>ck2，

說明：這題在得出c92，從而得到c的取值范圍.

通過以上例題中出現(xiàn)的存在性問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中出現(xiàn)的存在性問題的證明都與其項(xiàng)的下標(biāo)字母有關(guān)，所以解這類問題的方法主要是將數(shù)列問題利用等差、等比的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)轉(zhuǎn)化為含有下標(biāo)字母的等式，然后利用項(xiàng)的下標(biāo)所需滿足的一些條件，如正整數(shù)、幾個(gè)字母互不相等、在給定的范圍內(nèi)恒成立，從而得出答案.我認(rèn)為在教學(xué)此類題型中要求學(xué)生做到以下兩點(diǎn)：1.掌握等差、等比的定義，等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的概念，能根據(jù)題意列出表達(dá)式；2.熟練含有多個(gè)字母的代數(shù)式的變形、計(jì)算，掌握基本不等式及函數(shù)的最值計(jì)算.

（責(zé)任編輯金鈴）