如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想

鄧?guó)P文

分類討論是人們常用的重要思想方法，在生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、日常的生活中都常需要用到它.因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)分類討論思想方法的滲透、概括和總結(jié)， 要重視數(shù)學(xué)分類討論思想方法在解題中的指導(dǎo)作用.本文從以下幾點(diǎn)簡(jiǎn)述如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想.

一、在概念教學(xué)中滲透分類討論意識(shí)

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，但初中學(xué)生分類討論的意識(shí)不強(qiáng)，不知道哪些問(wèn)題需要分類及如何進(jìn)行合理分類.這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情景，給予強(qiáng)化，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類討論思想的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用分類討論的意識(shí).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，許多數(shù)學(xué)概念的定義，如實(shí)數(shù)和有理數(shù)的分類、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、一元二次方程的概念中對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的限定、平方根中對(duì)于被開(kāi)方數(shù)的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式、兩圓的五種位置關(guān)系……都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)涉及分類討論思想的問(wèn)題，教師在講授時(shí)要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌握.

如對(duì)于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的規(guī)定，教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生理解當(dāng)a=0與a≠0時(shí)，方程會(huì)有怎樣的變化，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說(shuō)明關(guān)于x的一元二次方程 kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制條件，隨后進(jìn)行了概念的變式，隱去“一元二次”四字，問(wèn)這是個(gè)怎樣的方程，并如何求解.學(xué)生對(duì)概念中關(guān)鍵字詞及補(bǔ)充條件的理解后，就能很清晰地對(duì) a=0與a≠0兩種情況作分類討論.

在日常教學(xué)中的這種有序的、有目的滲透，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步領(lǐng)悟和接受解決問(wèn)題中的分類討論的思想，在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中體會(huì)到為什么要分類，更要遵循分類的同一性、相稱性、互斥性、層次性原則，明確分類討論的思想是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的、有用的思想方法，從而在體會(huì)分類的完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性中訓(xùn)練了思維的條理性和目的性.

二、在運(yùn)用法則、定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)時(shí)滲透分類討論思想

初中數(shù)學(xué)教材中許多定義、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)等本身就是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體會(huì)分類討論的思想.

如七年級(jí)上冊(cè)引入負(fù)數(shù)后即對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、 零、 負(fù)數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、 分?jǐn)?shù).

（責(zé)任編輯金鈴）讓學(xué)生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會(huì)分類要不重復(fù)、不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)不同則分類不同的基本原則.此時(shí)可提出問(wèn)題“ -a 一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分 a>0，a=0，a<0三種情況考慮.在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的定義時(shí)，要有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括出a>0，a=0，a<0時(shí)，應(yīng)如何表示，并要求學(xué)生能做一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)題.例如去掉|x-1|和|x+2|的絕對(duì)值符號(hào)，在解題的過(guò)程使學(xué)生體會(huì)分類討論的思想方法，學(xué)會(huì)初步應(yīng)用.

引導(dǎo)學(xué)生探索推導(dǎo)有理數(shù)加法法則的過(guò)程，實(shí)際上就是應(yīng)用分類思想解決問(wèn)題的一個(gè)完整的過(guò)程.在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生深深體會(huì)到為什么要分類，更要遵循分類的基本原則.

又如九年級(jí)課本證明圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

在幾何證明題中，常常由于圖形的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論.此證明過(guò)程中為什么要根據(jù)圓心相對(duì)于圓周角的位置分成三種情況（如下圖）去證，要讓學(xué)生畫圖、測(cè)量、分析、討論后找到思路，而不能在學(xué)生活動(dòng)之前就給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過(guò)程，學(xué)生就無(wú)法體會(huì)分類證明的目的和優(yōu)點(diǎn).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該重視法則、定理、公式的論證推理過(guò)程，揭示分類討論的化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化分散為系統(tǒng)的本質(zhì)，使學(xué)生進(jìn)一步增強(qiáng)分類意識(shí)，加深對(duì)分類討論的理解和掌握.

三、在解題過(guò)程中突出與強(qiáng)化分類討論的思想

要解好數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅要有足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，而且要有清晰的解題思路，在解題的過(guò)程中，如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，是教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù).在教學(xué)過(guò)程中，可讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)體會(huì)分類討論思想在不同類型的題目中的運(yùn)用.

1分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

[例1]函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo).

分析：本題中的函數(shù)是什么類型的函數(shù)并沒(méi)有確定，所以要根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況.

4分類討論在動(dòng)態(tài)型幾何中的應(yīng)用

[例4]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過(guò)原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E.

（1）求過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式.

（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為65，那么EF=2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1分析：1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個(gè)解析式在第（2）、（3）題的計(jì)算中要用到.

2過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可以求FA的長(zhǎng).

3將∠EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△DCG與△DEF保持全等.

4第（3）題，分三種情況討論△PCG為等腰三角形的情況，根據(jù)點(diǎn)P的位置確定點(diǎn)Q的位置，再計(jì)算點(diǎn)Q的坐標(biāo).

以上是我們?cè)诮虒W(xué)中碰到的一些運(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題的實(shí)例，除此之外還有很多.在此不一一列舉.

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性.教師在確定教學(xué)目標(biāo)、采用教學(xué)方法時(shí)，都應(yīng)有意識(shí)地突出分類討論思想，根據(jù)初中學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中要遵照循序漸進(jìn)、逐步深化的原則并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來(lái)實(shí)施分類討論方法的教學(xué).在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生用新方法、新思路，拓寬思維領(lǐng)域，以克服思維的呆板性，培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方位思考的習(xí)慣.

（責(zé)任編輯金鈴）