導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

馮濤

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及它與其他知識(shí)點(diǎn)交匯處的綜合應(yīng)用.

難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)難點(diǎn)主要集中在兩個(gè)層面：①概念理解層面，比如導(dǎo)數(shù)的極限定義，曲線“過(guò)一點(diǎn)”和“在一點(diǎn)”處的切線的區(qū)別，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間是充分不必要關(guān)系，可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間是充分不必要關(guān)系，以及極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別，等等；②能力發(fā)展層面，在高考中導(dǎo)數(shù)對(duì)考生能力的考查是全方位的，它不僅要求考生熟練應(yīng)用高中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，例如化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想，而且還要掌握一些重要的解題策略，例如分離變量、構(gòu)造函數(shù)、換元法、變更主元、多重求導(dǎo)等解題技巧.

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1. 曲線的切線方程

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷P（x0，y0）是否為切點(diǎn)，即點(diǎn)P是否在曲線y=f（x）上.

若P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點(diǎn)，則切線斜率即為f ′（x0），代入點(diǎn)斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），即可求得過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程；若P（x0，y0）不是切點(diǎn)，即不是曲線y=f（x）上的點(diǎn)，則應(yīng)設(shè)切點(diǎn)為（x1，y1），求出（x1，y1），再求切線方程.

2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟：①求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f ′（x）>0或f ′（x）<0；③根據(jù)②的結(jié)果確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在x0處取極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在x0處取極小值.

（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最大值與最小值：①確定函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)；②求函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值；③求函數(shù)f（x）在[a，b]端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a）， f（b）；④比較函數(shù)f（x）的各極值與f（a）， f（b）的大小，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；⑤如果涉及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題還要將解答結(jié)果代入實(shí)際意義中進(jìn)行檢驗(yàn).

特別值得注意的是，掌握以上幾種典型類(lèi)型問(wèn)題的解法步驟只是解決好導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本能力，切不可生搬硬套，一定要結(jié)合試題具體問(wèn)題具體分析，以下結(jié)合典型例題加以說(shuō)明.

（3）設(shè)g（x）=（x2+x）f ′（x），其中f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意x>0，g（x）<1+e-2.

思索 利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求出函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間，將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.