數(shù)學(xué)：題型梯度明顯 考查知識與能力

王強(qiáng)芳

一、試題特點

（一）立足基礎(chǔ)，考查“雙基”，結(jié)構(gòu)合理，穩(wěn)中有變

數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，題型仍是選擇題、填空題、解答題，分值分別是：選擇題60分、填空題20分、解答題70分。解答題依舊是三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、概率與統(tǒng)計、圓錐曲線方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等六大重點章節(jié)，只是解答題的順序略有不同。總體來說，試題表述簡潔嚴(yán)謹(jǐn)，語言平實，符合教學(xué)實際。此外，試題緊扣教材，沒有偏題、怪題，在全面考查高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，突出考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何等重點知識。全卷對高中數(shù)學(xué)各章節(jié)內(nèi)容所涉及的概念、定義、性質(zhì)、公式、法則、定理等都作了較為全面的考查。例如，第1、2、3、15題涉及對集合、復(fù)數(shù)、向量、線性規(guī)劃的考查；第4、5、9、22題側(cè)重對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查；第6、17、22題涉及對數(shù)列知識的考查；第7、14題側(cè)重對排列組合、二項式定理的考查；第20題側(cè)重對概率與統(tǒng)計知識的考查；第12、13、18題涉及對三角函數(shù)知識的考查；第10、16、19題側(cè)重對立體幾何的考查；第8、11、21題涉及對圓錐曲線的考查。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識覆蓋較為全面，能有效地檢測考生對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的掌握，同時還加大了對重點內(nèi)容與重要數(shù)學(xué)思想方法的考查力度。

（二）客觀題梯度明顯，區(qū)分有度

選擇題注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，與往年試題難度相當(dāng)，既有考查基本概念、基本運(yùn)算的試題，也有考查知識點交匯的題型。選擇題第1題至第9題比較容易，第11、12題需要一定的解答技巧和綜合運(yùn)算能力才能做出。填空題表現(xiàn)平穩(wěn)，其中第13、16題均源自教材，第16題主要考查學(xué)生的空間想象能力和一定的數(shù)學(xué)視野，以及學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，要求考生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能完成。客觀題在控制運(yùn)算量的同時，加大了對考生思維能力的考查力度，第11題則從兩個層面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)了較強(qiáng)的高考選拔功能。

（三）突出數(shù)學(xué)思想方法的考查

為了更好地考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能，試題在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時體現(xiàn)出了對數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)能力的要求。比如，理科卷第5、6、17、18、21題考查了函數(shù)與方程思想，第8、10、15、16、19、21、22題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，第10、16、19題考查學(xué)生的空間想象能力，第8、11、17、21題考查學(xué)生的運(yùn)算能力。在歷年的高考中，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力對考生來說是個很大的考驗，今年的試卷巧妙地將計算與思維做到了和諧統(tǒng)一。比如，文科卷第11題，理科卷第12題，如果能很好地利用圖形，就可以巧妙地避免相對復(fù)雜的計算；文科卷第22題，理科卷第21題第二問，如果考慮到雙曲線的定義，利用焦半徑公式和勾股定理，用幾何的做法可以極大地減少計算量。這些數(shù)學(xué)思想方法都是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，?？汲Ｐ?，因此，教師在平時的教學(xué)中要滲透這些數(shù)學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)中高度重視，這樣才能在考試時做到得心應(yīng)手。

（四）重視知識網(wǎng)絡(luò)的交匯，強(qiáng)化對知識與能力的綜合考查

試題強(qiáng)化了對考生的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的綜合考查，對各章節(jié)考點進(jìn)行了綜合設(shè)計，以考查考生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的，知識點縱橫交錯，對知識和能力進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)式布題。例如，理科卷第17題對等差數(shù)列和等比數(shù)列中的通項公式及求和公式的運(yùn)用進(jìn)行了綜合考查，文理卷第18題對三角函數(shù)的變換，解三角形中正弦定理、余弦定理等知識點的綜合考查；文理卷的圓錐曲線題則以雙曲線為背景，考查了圓錐曲線的定義及a、b、c基本量的計算，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，而要求證明三條線段的長是等比數(shù)列，則在考查基本知識、推理論證能力的同時，考查了“用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)”這一解析幾何的核心思想。理科卷第22題交匯性更強(qiáng)，綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式等知識，最能體現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)能力，凸顯了思維的靈活性和深刻性。

（五）強(qiáng)調(diào)新課程改革的探究性、問題性

今年的試題與高中課改理念及與高中課改提出的培養(yǎng)學(xué)生的探究性、問題性能力理念相吻合，以探究問題為載體，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)潛能，要求考生通過解答問題，經(jīng)歷歸納、猜想、推理論證的過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的。比如，理科卷第12題研究函數(shù)的對稱性、最值、奇偶性、周期性，考生只有充分理解抽象函數(shù)與三角函數(shù)的基本性質(zhì)，通過探究才能得出正確答案。文理卷的概率題，考生只要充分理解問題的本質(zhì)，把甲、乙、丙三人比賽的情況分別列舉出來，就能夠解決問題。從中我們可以看出，這些題目都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，是考生必備的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，符合高中課改的理念。

二、教學(xué)啟示

（一）重視課本、夯實基礎(chǔ)、注重通性通法

在今年的高考數(shù)學(xué)試卷中，函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計仍然是考查的主要內(nèi)容，以考查基礎(chǔ)知識為重點，注重對通性通法的考查，淡化特殊技巧，突出對數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的考查。比如，理科卷第17題考查等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式，列出方程組求解；文科卷第22題第二問的解題思路是將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、韋達(dá)定理、兩點間距離公式等列條件組，從而解決問題；理科卷第22題的第一問常規(guī)思維是通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再通過單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。常規(guī)思路訓(xùn)練好了，解題就不難了，因此在今后的教學(xué)中一定要改變片面追求題目“新、奇、怪”的極端做法，而要以數(shù)學(xué)核心主干知識和思想方法為依托，立足課本，注重通性通法的教學(xué)。

（二）改變習(xí)慣思維，重視數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

在重視教學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提下，我們還要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，要想考高分，除了具有扎實的基礎(chǔ)知識，還要具備一定的數(shù)學(xué)能力。比如，理科卷第11題，如果用解析幾何的常規(guī)做法，則運(yùn)算量大，耗時多，直接影響到其他問題的解答。如果我們發(fā)現(xiàn)直線AB是過M點的拋物線y2=8x的一條切點弦，就能馬上得出k=2。理科卷第22題第二問，假如沒有一定的數(shù)學(xué)能力，很難把題設(shè)和條件聯(lián)系起來進(jìn)行解答。若只看命題人給出的解題過程，雖然（2）的解答中利用了不等式>ln（1+x），但是我們首先不會想到利用這個不等式a2n-an+>ln2，況且，這個不等式與不等式之間的關(guān)系也不容易產(chǎn)生聯(lián)系，即使將a2n-an+表示為（+），而這又是怎樣想出來的？最后回到不等式a2n-an+>ln2，即++…++>ln2。對于這幾個問題，如果在平時的教學(xué)中不注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，估計學(xué)生不會做。事實上，這道題的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是證明函數(shù)y=的圖像與直線x=n和直線x=2n及x軸圍成的面積ln2小于n個直角梯形的面積之和，因此，在不等式>ln（1+x）中取x=，即對應(yīng)一個小梯形與凹形的面積的大小關(guān)系，即>ln，當(dāng)我們深刻理解這種關(guān)系之后，問題就變得簡單了。因此，作為數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該有研究的精神和意識，才能更好地指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題能力。

（責(zé)編 歐孔群）