數(shù)感在“追問”中生成

高飛

課堂提問是學(xué)生思維的引擎和路標，又是教師了解學(xué)生知識學(xué)習(xí)、方法掌握的重要渠道。而課堂追問是在前次提問基礎(chǔ)上的延伸和拓展，能促進學(xué)生積極、深入地思考，進而，有利于學(xué)生理解和掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)習(xí)者的知識體系。《數(shù)學(xué)課程標準（2011）》指出，“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念……”?？梢?，基于具體教學(xué)內(nèi)容，促進學(xué)生數(shù)感全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展是數(shù)學(xué)課程教學(xué)所要承擔(dān)的首要任務(wù)。同時，《數(shù)學(xué)課程標準（2011）》解釋說：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表達具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！辈浑y看出，估算教學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要渠道之一。那么，在估算教學(xué)中，如何借助追問，在促進學(xué)生理解和掌握估算方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感呢？我以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算”（蘇教版國標本小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊）教學(xué)為例談?wù)勛约旱乃伎?，求教大方?/p>

教材主題圖：

一、 通過追問，讓學(xué)生在“知其然”，又“知其所以然”的境地中，初步建立數(shù)感

教學(xué)片段1：

師：先估計42×29的積大約是多少？并說明理由。

先讓學(xué)生獨立思考，然后組內(nèi)交流想法。

師：誰愿意把估計的結(jié)果跟大家交流一下？

生：我估計：42×29的積大約是1200左右。

師：說說你是怎樣想的？

生：把42看作40；29看作30。因為40乘30得1200，所以我估計得數(shù)是1200左右。

板書：

42×29 1200左右 想：40×30=1200

將兩個乘數(shù)分別看作接近于它們的整十?dāng)?shù)，利用整十?dāng)?shù)乘法的口算，估計出得數(shù)是多少。這是學(xué)生將估算兩位數(shù)乘以一位數(shù)學(xué)習(xí)過程中習(xí)得的知識和經(jīng)驗的主動遷移與應(yīng)用。而與一個兩位數(shù)比較接近的整十?dāng)?shù)通常還有兩種情況，一種是比兩位數(shù)小些，另一種是比兩位數(shù)大些。所以估計兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積，一般有三種思考方式。正如例題呈現(xiàn)的三個卡通人物所估計的那樣。教材要求學(xué)生體會“三種”估算方法，理解如此表述估算結(jié)果的科學(xué)道理。同時，為不同學(xué)生開展個性化估算活動積累經(jīng)驗，以及為根據(jù)具體情境的需要，選擇適切的估算方法解決問題做好準備。鑒于以上分析，對于課堂上學(xué)生沒有生成的另外兩種估算方法（即利用“四舍”、“五入”法估算），筆者鼓勵學(xué)生通過看書自學(xué)的方式進行學(xué)習(xí)。個中，不僅僅是關(guān)注估計的結(jié)果，更加重視學(xué)生理解估算的思考方法。

教學(xué)片段2：

師：估算42×29，看一看課本上有幾種想法？其中，哪些想法我們已經(jīng)想到了？還有哪些想法我們沒有想到呢？想一想、議一議圖中的“辣椒”、“蘿卜”各是怎樣想的？

（1）學(xué)生翻開課本第33頁，自學(xué)課本上“辣椒”和“蘿卜”的想法。

（2）思考后，在小組內(nèi)交流或討論兩種估算的思考方法。

（3）集體交流。

師：誰能說一說：估計得數(shù)比800多，是怎樣想的呢？

生：把42看作40；29看作20。因為40乘20得800，所以，估計得數(shù)比800多。

板書：

42×29 比800多 想：40×20=800

師：估計得數(shù)比1500少，又是怎樣想的？

生：把42看作50；29看作30。因為50乘30得1500，所以估計得數(shù)比1500少。

板書：

42×29 比1500少 想：50×30=1500

對運算結(jié)果的估計就是基于算式中數(shù)的表征，利用“湊整”思想，借助于四則運算的口算方法，對式題的結(jié)果進行推測。因此，思考的維度不同，得到的估算結(jié)果也不一樣。但是，無論哪種結(jié)果的背后都蘊含著有價值的思考過程。通過由果溯因式的追問，引導(dǎo)學(xué)生積極地展示自己的所思、所想及所悟，其目的不僅僅是評價估算結(jié)果是否合理，更重要的是學(xué)生在不斷反思和交流活動中，對數(shù)的“感覺”也如影隨形般地產(chǎn)生。

二、 通過追問，讓學(xué)生在反復(fù)思辨中體會各種“表述”方式的科學(xué)道理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

教學(xué)片段3：

師：（指板書）估計42×29的積比800多。這里的“多”字能不能去掉呢？你是怎樣理解的？

生：不能去。把42看作40，29看作20。因為兩個乘數(shù)同時比原來看小了，所以42×29的積不會小于或等于800，而是比800多。

生：如果去掉多字，就不知道42×29的積在800的左邊還是右邊了。

師：估計42×29的積比1500少。這里的“少”字，又怎樣解釋？

生：就是積比1500小。

生：把42看作50，29看作30。因為兩個乘數(shù)都比原來看大了，所以42×29的積一定不會大于或等于1500。

師：想一想，估計得數(shù)是1200左右，這里的“左右”是什么意思？

生：把42看作40；29看作30，就是把兩個乘數(shù)看作最接近于它們的整十?dāng)?shù)，這樣，估算出的結(jié)果跟實際的積差不多。

師：假如給這三種估算方法命名的話，你打算起什么名字？

生：比800多，叫往小估。（板書：往小估）

生：比1500少，叫往大估。（板書：往大估）

生：在1200左右，叫往中間估。（板書：往中間估）

通過對關(guān)鍵詞“多”、“少”、“左右”刨根式的追問，加深了對估算結(jié)果的體會。而接下來的命名過程就是對估算方法進行甄別、分類的過程。此時，學(xué)生憑借在估算活動中獲得的充分感知和豐富體驗，對不同結(jié)果的由來進行分析和比較、歸納和概括。進而，根據(jù)三種思考方式的特點進行分類并命名。所以，這里的命名不是學(xué)生的主觀臆想，而是基于對42×29的積的深入理解和深刻認識基礎(chǔ)上的“頓悟”。與此同時，隨著學(xué)生腦海里關(guān)于42×29的積的范圍及其定位逐漸清晰，數(shù)感也在不知不覺中拔節(jié)生長。

三、 通過追問，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“三個”估算結(jié)果構(gòu)建42×29的積的存在范圍及其相近位置，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

教學(xué)片段4：

師：現(xiàn)在，誰能說一說：42×29的積一定在哪兩個數(shù)之間？為什么？

生：因為42×29的積比800多，比1500少，所以在800～1500之間。（如圖2，在數(shù)軸上標出800、1500，并畫出范圍。）

師：42×29的積在哪個數(shù)附近？為什么？

生：應(yīng)該在1200左右。（如圖2，在數(shù)軸上標出1200。）

生：把42看作40；29看作30。將兩個乘數(shù)分別看作最接近的整十?dāng)?shù)，這樣，40乘30的積就最接近于42×29的積。

師：想一想，實際的積到底在1200右邊，還是左邊呢？

生：在右邊。把29看作30，42×30=1260。因為1200<1260，所以在右邊。

師：你能在直線上標出42×29的積的大致位置嗎？

學(xué)生思考、交流之后，指名學(xué)生在直線上用紅色標出42×29的積的位置（如圖3）。

出示數(shù)軸： （42×29的積）

……

雖說學(xué)生在估計42×29的積的一系列活動中獲得了豐富的感知和體驗，但是這些感知和體驗，猶如一顆顆美麗的珍珠處于一種散落的狀態(tài)。這里，通過遞進式追問，借助于直觀的數(shù)軸，將不同的估算結(jié)果統(tǒng)一起來，引導(dǎo)學(xué)生在比較與辨析中，確立了42×29的積的存在范圍及其相近的位置，即在800和1500之間，且靠近1200。最后，當(dāng)學(xué)生在數(shù)軸上標出42×29的積的大致位置時，對42×29的積的感悟已經(jīng)形成。

教學(xué)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算》，主要目標是“讓學(xué)生經(jīng)歷探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算方法的過程，能估算一些兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積?！辈浑y看出，估計42×29的積的教學(xué)到學(xué)生理解和掌握三種估算方法這一步就結(jié)束未嘗不可。但這樣一來，就失去了一次難得的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感的機會。因此，筆者對這節(jié)課的教學(xué)進行了重新定位：讓學(xué)生經(jīng)歷探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算方法的過程；讓學(xué)生在反復(fù)思辨活動中實現(xiàn)對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算的精致化認識；以數(shù)軸為媒，統(tǒng)整不同的估算方法，滋養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。其中，重點開展了“三輪”循序漸進、螺旋上升的追問活動：

一在初獲結(jié)論時。教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，往往一味地追求結(jié)果，卻對結(jié)果的形成過程或思考過程很少主動地進行回顧和反思。這在一定程度上影響了學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的提煉和積累。借助追問，能啟發(fā)學(xué)生主動反思自己的學(xué)習(xí)過程，積極探尋知識的內(nèi)核，從而幫助學(xué)生理解知識的來龍去脈，既能回答“是什么”，又能回答“為什么”。案例中，估計42×29的積，得出三種不同的結(jié)果。通過追問，引導(dǎo)學(xué)生反思形成每種結(jié)果的思維過程，自覺檢索其背后的思考方法。這樣，不但實現(xiàn)了對估算結(jié)果“知其然”，又“知其所以然”，同時積累了一定的思維活動經(jīng)驗。

二在思辨結(jié)論時。所謂思辨結(jié)論，就是對已經(jīng)獲得的結(jié)果進行細節(jié)上的質(zhì)疑和拷問，以尋求對知識的深層次觀望為目標，最終達成全面、系統(tǒng)地理解和掌握知識。而憑借追問，可以使學(xué)生的思辨活動由膚淺走向深入。案例中，對各種估算結(jié)果的描述分別使用了“多”、“少”、“左右”的關(guān)鍵詞。這些關(guān)鍵詞有什么意義？為什么要使用？開始，學(xué)生并不一定關(guān)注和理解。通過追問，不僅使學(xué)生的目光聚焦于三個關(guān)鍵詞，而且又一次激蕩起思維的漣漪。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過深入思考，并能對這些詞語進行理性的分析和解釋后，也就實現(xiàn)了對42×29的積的深層次認識。

三在應(yīng)用結(jié)論時。案例中，基于不同的思考方法，估算42×29的積產(chǎn)生了不同的結(jié)果。如果孤立地看待這三種結(jié)果，那它們僅僅是42×29的積的三個近似值；假如把這三個結(jié)果綜合起來觀察的話，那展現(xiàn)于學(xué)生面前的就是一幅描繪42×29的積的“鳥瞰圖”。通過追問，并借助于直觀數(shù)軸形式，把所有的估算結(jié)果一一呈現(xiàn)出來，從中發(fā)現(xiàn)的不僅僅是其“積”的范圍及其相對位置，學(xué)生的數(shù)感也應(yīng)運而生，從而實現(xiàn)“1+1+1>3”的功能。

一次次地“追問”，一次次地“思考”，學(xué)生的數(shù)感亦隨著初獲結(jié)論時“孕育”，思辨結(jié)論時“生長”，應(yīng)用結(jié)論時“形成”。