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    試談復數(shù)的幾何意義

    2013-04-29 18:06:27陳鋒
    中國科教創(chuàng)新導刊 2013年9期

    陳鋒

    摘 要:很多學生對于復數(shù)的理解僅僅停留在它的代數(shù)形式,即z=a+bi(a,b∈R);沒有完成從代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)變。很多復數(shù)問題用幾何意義來解決更加形象直觀。

    關(guān)鍵詞:z= 復數(shù)的幾何意義 直角坐標系中的點 復數(shù)的模

    中圖分類號:G4 文獻標識碼:A 文章編號:1673-9795(2013)03(c)-0077-01

    復數(shù)作為高中文科數(shù)學湘教版選修1-2的最后一章,由于其它知識對復數(shù)沒有特殊的需要,不象其他知識點之間的聯(lián)系那么緊密,應(yīng)該說是獨立成一塊的,所以這塊知識對學生來說是很容易遺忘。我們教材中引進復數(shù)及其某些概念也是先介紹代數(shù)形式,所以學生認識復數(shù)最初從代數(shù)形式開始,運用代數(shù)形式理解概念、進行運算是他們習慣性的方法。

    很多學生認為復數(shù)問題只要設(shè)z=a+bi(a,b∈R),好象都好做,事實上將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的一種重要思想。但是他們對復數(shù)的認知并沒有隨著復數(shù)的定義z=a+bi(a,b∈R)完成從一維到二維的轉(zhuǎn)變。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng),類比我們可以聯(lián)想到復數(shù)可以用復平面上的點來表示,實現(xiàn)復數(shù)從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。任何一個復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定,而有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點是一一對應(yīng)的。因此,以每個復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的實部a和虛部b組成坐標(a,b)在復平面上可以畫出唯一的一個點P(a,b),即每個復數(shù)在復平面上有且只有一個點坐標與其相對應(yīng)。

    從很多學生解決問題的方法來看,他們中的大多數(shù)人都首先運用模的代數(shù)形式定義z=進行運算,用距離表示模,用幾何意義來描述模是對模的概念的壓縮,例如,既能運用代數(shù)形式又能運用幾何意義解題的學生,他們將模的代數(shù)形式和幾何意義組合過程,并且作對比和概括,隨著理解的深入,一些學生能將模看作一個整體對象|z|,而不需要詳細用代數(shù)形式展開或用幾何意義表示,就能對其進行運算,這是對復數(shù)模的概念理解的具體化階段,倘若老師堅持讓學生去進行運算,那么這種運算就成了無對象的運算,變?yōu)槿狈σ饬x的符合游戲,學生除了死記硬背外,無法進行有意義的操作運算,從而就出現(xiàn)了||=|| +||的錯誤。所以,教師在復數(shù)教學中要多加關(guān)注學生的思維表現(xiàn),了解和分析他們對復數(shù)的認知水平。

    很多學生不能深入利用模的幾何意義解決問題,只是機械地記住模好象是表示一個圓,只了解復數(shù)符號的表面含義。究其原因,學生對復數(shù)的每一種形式的建構(gòu)有個過程,只有經(jīng)過一定程度的操作,才能從一種形式的認識過渡到另一種形式,而且這種操作活動會隨著學生的差異而經(jīng)歷的時間不一樣。

    1 從實數(shù)的絕對值到復數(shù)模的過渡對很多學生是個挑戰(zhàn)

    初學者經(jīng)常將復數(shù)的模當作實數(shù)的絕對值,他們屬于復數(shù)認知的初級階段,他們只知道復數(shù)的模和實數(shù)的絕對值的符號都是|…|,“因為|Z-2|=1,所以Z-2=±1…”“若z>0,則|Z+3|=Z+3=1,若z<0,則|Z+3|=3-z=1,…”類似以上的錯誤不少,教師要善于從錯例出發(fā),指導學生分別從代數(shù)形式和幾何意義上比較兩者的異同,使學生理解復數(shù)的模在代數(shù)形式上就是絕對值|a|的推廣和延伸;在幾何意義上,模是復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離,絕對值是實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離,從絕對值到模是從一維到二維的關(guān)系,使得學生看出兩者是特殊和一般的關(guān)系。

    2 學生認知復數(shù)的模從代數(shù)式子開始,怎么實現(xiàn)代數(shù)形式和幾何意義的融合

    很多老師在講授復數(shù)的模時,首先從它的代數(shù)表示入手,也就是|z|=,引導學生從運算性上進行理解,學生通過大量練習而加深了對代數(shù)表示的印象。然后進行模的幾何意義的教學,而忽略了把模的代數(shù)形式z=和復數(shù)的幾何意義相結(jié)合,使學生能更深一步地了解模的意義而復數(shù)模的概念是在復平面上表示該復數(shù)的點到坐標原點的距離,z=其實也表示兩點之間的距離,即點(a,b)到點(0,0)的距離,而其中a與b也就是復數(shù)z的實部和虛部,使學生能更深一步地了解模的意義。學生對模的理解困難往往是把幾何意義與它的代數(shù)表達式給割裂開來,缺乏對兩者必然關(guān)系的認識,因此,在問到有些學生|z|=1是什么意思時,很多學生只想起它的代數(shù)形式,即模長等于1,而對|z|在幾何上表示以原點為圓心,半徑為1的圓上的點這個概念很模糊。

    3 復數(shù)的幾何意義對解題的幫助

    利用復數(shù)的幾何意義解題的好處是如果能夠真的理解幾何意義的本質(zhì),那么解題會變得很簡單。從幾何意義上理解,復數(shù)的模的意義為在復平面上表示z的點到原點的距離,類比向量的模,可進一步引申:||的意義為在復平面上表示z的點到表示之間的距離。如:||=1的意義為在復平面上表示z的點到點(0,1)之間的距離為1,所以表示z的點的軌跡是以(0,1)為圓心,以1為半徑的圓。

    (1)有的類型題目用代數(shù)形式很難解決,而用幾何意義卻很容易可以解出。

    例:若zC,且||=1,求||的最大值。

    分析:||=||=1,即在復平面上表示Z的點到點(2,-1)的距離為1,從另一個角度說,在復平面上表示z的點的軌跡在以(2,-1)為圓心,以1為半徑的圓上.所以||的最大值可以看成點(0,1)到圓上的點的距離的最大值,即連接點(0,1)與圓心(2,-1),并延長與圓相交于兩點,其中一點是最近點,一點就是最遠點。點(0,1)到圓心(2,-1)的距離為 =2,最小值為2-1,最大值為2+1。

    (2)復數(shù)與其在復平面上的對應(yīng)點之間的緊密關(guān)系對于解決關(guān)于1的n次方根的問題有很大的幫助。在實數(shù)范圍內(nèi),方程 只有一個根x=1,但是在復數(shù)范圍內(nèi)則不然,將方程變形為,左邊因式分解得:,分別求出x-1=0和的復數(shù)根,湊到一起就是的復數(shù)根。畫出以坐標原點為圓心的單位,這3個復數(shù)根在復平面上的對應(yīng)點分別為(1,0),(,(都落在單位圓上,且這3個點與圓心連接剛好把圓3等分,把3個點連接起來,構(gòu)成一個等邊三角形。類似在復數(shù)范圍應(yīng)該有四個根,并且四個根在復平面上所對應(yīng)的點都在以圓點為圓心的單位圓上,依次把這四個點連接起來,構(gòu)成一個正方形……

    有些學生雖然有時也知道自己的方法復雜,但他們“不愿”去反思,而是堅持自己已經(jīng)運用的方法,似乎有點“不厭其煩”,這種思維習慣,使得他們?nèi)鄙龠M行方法的比較,從而在其認知結(jié)構(gòu)中不能將幾何形式的表象和代數(shù)形式的表象建立有效的聯(lián)系,雖然有時也會模仿例題和老師的解題方法在坐標系中描出復數(shù)對應(yīng)的點和圖形,但他們純粹是為了幾何表示而畫圖,對幾何圖形作為表象的直觀性體會不深,所以他們能夠應(yīng)用幾何方法的人數(shù)不多。因此,要培養(yǎng)學生把代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合的解題思想。

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