高中數(shù)學(xué)與思維的嚴密性

劉高峰

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）04-0148-01

培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)。而思維的嚴密性是良好思維品質(zhì)的一個重要方面，高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到學(xué)生錯誤解題的思維缺陷，本文謹以一些實例說明思維的嚴密性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。

例：已知集合{1，a，x}={a2，a，ax}，求x、a。

錯解：令1=a■x=ax或1=axx=a■分別解得a=1x∈R或a=±1x=0

正確的思維不僅考慮到兩組等集合中的元素分別相等，而且集合中的元素滿足無序性和互異性，將所得結(jié)果作檢驗只有a=-1，x=0。

例：判斷y=x2+（x+1）0的奇偶性。

錯解：∵（x+1）0=1

∴y=x2+1，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）

∴y=x2+（x+1）0是偶函數(shù)。

正確的思維首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，事實上x≠-1，函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。

例：求y=sin x■（30■≤X≤60■）的最小值。

錯解：∵ 30■≤X≤60■ ， ∴ sin x？酆■？芻0

∴ sin x+■≥■=2 ， 得y的最小值為2。

正確的思維是對“均值定理”中“一正、二定、三相等”三方面條件逐步檢驗，事實上，在給定的范圍內(nèi)sin x 與■ 不存在相等的情況，因而當用函數(shù)單調(diào)性解之，得ymin=■ 。

例：一數(shù)列的前幾項和為sn=2n2+3n+1 ，求其通項公式。

錯解： ∵ sn=2n2+3n+1 ， ∴ sn=2（n-1）2+3（n-1）+1

∴ an=sn-sn-1=4n+1

正確的思維應(yīng)當考慮到sn-1 存在的條件為n≥2 ，故只有當n≥2 時，an=4n+1 ， a1=s1=6不符合上述公式。

例：若loga2？酆logb2 ，比較a與b的大小。

錯解：loga2？酆logb2 ， ∴ ■？酆■ ，∴ logab？酆logba ，得b？酆a？酆0 。

正確的思維應(yīng)慮及1og2■與1og2■ 同號或異號的情況，分類討論a？酆1？酆b 或1？酆b？酆a 或b？酆a？酆1 。

例：與空間不共面的四個點距離相等的平面有多少個？

錯解：四個點不共面，任何三點確定一個平面，另一點向此平面作垂線段，過此線段中點平行于此平面的平面即為所求，因而有C43=4 個。

正確的思維既考慮到分居于平面兩側(cè)的3～1情況，又考慮到2～2情況，因而正確的答案應(yīng)為C43+C42/=7 個平面。

例：已知兩點A（-2，-1） 和B（1，1） ，ΔABC的頂點C在曲線xy-y-9=0 上移動，求ΔABC的重點M在軌跡方程。

錯解：設(shè)M的坐標為（x，y） ，C的坐標為（x0，y0） ，

則x■=3x-1-（-2）=3x+1y■=3y-1-（-1）=3y ，于是（3x+1）·3y-3y-9=0

化簡得xy-1=0 為重心M的軌跡方程。

正確的思維應(yīng)考慮到點C作為ΔABC頂點不能在直線AB上，因而重心也不能在直線AB上，正確的結(jié)論應(yīng)為：重心M的軌跡方程為xy-1=0（y≠-■，且 y≠0）。

例：六個人分成三組，每組兩人，有多少不同分法？

錯解：分兩步完成這個事情：第一步：從6個人中任取2人作為一組，方法數(shù)為C62，第二步：從余下4人中任取2人作為一組，余下的2人為另一組，故有C62.C42種分法。

正確的思維要考慮分得的三組沒有序號，但分步完成事情的過程卻使得組與組之間有了序號上的區(qū)別，即同一分法重復(fù)了A33 次，因而正確答案為■=15 種。

如上所述，思維的嚴密性幾乎滲透在高中數(shù)學(xué)解題的方方面面，教學(xué)中應(yīng)強化概念的理解并引導(dǎo)學(xué)生有意識地強化嚴謹性思維習(xí)慣的培養(yǎng)。