對(duì)一道教材習(xí)題的解法探究

江寶龍

摘 要： 教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根，是學(xué)生發(fā)展思維的源.教學(xué)過程中應(yīng)充分體會(huì)編者對(duì)內(nèi)容處理，體會(huì)新課程的理念，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，鍛煉學(xué)生的思維能力.教材習(xí)題是經(jīng)過專家精心挑選的，充分地挖掘教材習(xí)題，深化習(xí)題教學(xué)，創(chuàng)造性地使用教材習(xí)題，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)展學(xué)生的思維能力，大大提高學(xué)習(xí)效率，收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞： 教材習(xí)題 構(gòu)造法 發(fā)散思維

一、原題再現(xiàn)——重視課本知識(shí)

人教版《數(shù)學(xué)》選修4-5習(xí)題1.1第11題：

題目：已知a，b.c∈R■，a+b+c=1，求證：a■+b■+c■≥■.

《教師用書》證法：3（a■+b■+c■）=2（a■+b■+c■）+（a■+b■+c■）

=（a■+b■）+（b■+c■）+（a■+c■）+（a■+b■+c■）

≥2ab+2bc+2ac+a■+b■+c■=（a+b+c）■=1

所以a■+b■+c■≥■.

二、編者意圖——加深方法理解

該證明方法從所要證明的結(jié)論出發(fā)，通過“構(gòu)造”方法，將a■+b■+c■構(gòu)造成基本不等式形式，構(gòu)造出a+b+c=1的定值，巧妙地與（a+b+c）■聯(lián)系在一起.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生容易從條件的平方入手，借助于基本不等式證明該結(jié)論.但編者為什么要從結(jié)論出發(fā)呢？筆者認(rèn)為是“構(gòu)造”方法的滲透.在選修4-5不等式選講中，從絕對(duì)值的三角不等式到基本不等式在到柯西不等式和排序不等式，無不體現(xiàn)“構(gòu)造法”在解題中的優(yōu)越性，同時(shí)構(gòu)造法也是數(shù)學(xué)中的一種重要的方法.教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根，是思維方法的源，仔細(xì)研究教材，體會(huì)編者的意圖，在教學(xué)中加以滲透，既能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又能鍛煉學(xué)生的思維能力.

三、一題多解——發(fā)散學(xué)生思維

法二：（a■+b■+c■）（1■+1■+1■）≥（a+b+c）=1

所以3（a■+b■+c■）≥1，即a■+b■+c■≥■.

此方法巧妙地構(gòu)造柯西三維不等式的形式，利用柯西不等式對(duì)其進(jìn)行證明，證明簡(jiǎn)潔，容易理解，但要求對(duì)柯西不等式的基本形式理解透徹.

方法三：

設(shè)f（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3.

因?yàn)閒（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3

=（a■x■+2ax+1）+（b■x■+2bx+1）+（c■x■+2cx+1）

=（ax+1）■+（bx+1）■+（cx+1）■≥0，

所以f（x）≥0恒成立，

所以Δ≤0，即4（a+b+c）■-12（a■+b■+c■）≤0，

又因?yàn)閍+b+c=1，所以a■+b■+c■≥■.

此方法由柯西不等式的證明方法啟發(fā)得到.巧妙地構(gòu)造出一個(gè)二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化成判別式即得到所有結(jié)論.

方法四：

設(shè)a=■+Δ■，b=■+Δ■，c=■+Δ■，其中Δ■+Δ■+Δ■=0.

因?yàn)閍■+b■+c■=（■+Δ■）■+（■+Δ■）■+（■+Δ■）■

=■+■（Δ■+Δ■+Δ■）+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）

=■+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）≥■，

所以a■+b■+c■≥■.

圖1 圖2

方法五：

定義1：如果函數(shù)f（x）對(duì)其定義域中任意的x■，x■都有如下不等式f（■）≤■[f（x■）+f（x■）]（f（■）≥■[f（x■）+f（x■）]）成立，則稱f（x）是下凸（凹）函數(shù)（如圖1）（上凸（凹））函數(shù)（如圖2）.

定理1（詹生不等式）若函數(shù)f（x）在區(qū)間I是上凸函數(shù)，則有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≥q■f（x■）+q■f（x■）+…+q■f（x■）（3）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間I是下凸函數(shù)，則有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≤q■f（x■+q■f（x■）+…+q■f（x■）（4）

其中x■∈I，q■>0，i=1，2，…，n；q■+q■+…+q■=1.

詹生不等式由函數(shù)的凸凹性得到，函數(shù)的凸凹性在人教必修一第53頁復(fù)習(xí)參考題B第5題得以滲透.

證法：因?yàn)閍，b，c∈R■所以構(gòu)造（0，+∞）的下凸函數(shù)f（x）=x■.

由詹生不等式得■≥f（■），

即■≥f（■）=■，所以a■+b■+c■≥■.

四、結(jié)論推廣——?dú)w納一般結(jié)論

1.a，b，c，d∈R■，a+b+c+d=1，求證：a■+b■+c■+d■≥■.

2.a■，a■，a■…a■∈R■，a■+a■+…+a■=1，求證：a■■+a■■+…+a■■≥■.

五、高考鏈接——回歸教材根源

2013新課標(biāo)（Ⅱ）卷理科選修4-5：

已知a，b，c，∈R■，a+b+c=1，求證：ab+bc+ac≤■.

2013湖北理科13題：

x，y，z∈R，x■+y■+z■=1，x+2y+3z=■則x+y+z=？搖？搖？搖？搖.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M].江蘇：江蘇教育出版社，2007.