受限非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的三角正交函數(shù)求解方法

李樹榮

(中國(guó)石油大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東青島266580)

在求解最優(yōu)控制問(wèn)題的方法中，直接法始終是一種被廣泛應(yīng)用的方法［1-2］。其中，利用某些函數(shù)序列對(duì)原控制問(wèn)題進(jìn)行近似從而進(jìn)行直接求解的方法在直接法中也多有使用。Chen等［3］將沃爾什序列法引入最優(yōu)控制問(wèn)題的直接求解中，并得到相應(yīng)最優(yōu)控制問(wèn)題的分段常數(shù)解。勒讓德小波法［4］、切比雪夫多項(xiàng)式法［5］、傅里葉序列法［6］和高斯偽譜法［7］也被引入來(lái)對(duì)最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行直接求解。不同于以上的正交函數(shù)，Anish等［8］提出了一種源于方脈沖函數(shù)(BPFs)的三角正交函數(shù)，給出了該函數(shù)的積分計(jì)算矩陣，并驗(yàn)證了三角正交函數(shù)在近似求解數(shù)值問(wèn)題時(shí)較好的近似性能和較快的計(jì)算速度。筆者基于此三角正交函數(shù)，提出一種求解帶有狀態(tài)和不等式約束的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值求解方法。

1 三角正交函數(shù)

基于方脈沖函數(shù)，Anis等［8］提出了三角正交函數(shù)。通過(guò)拆分，在區(qū)間［0，1)中將一個(gè)方脈沖函數(shù)分解成兩個(gè)三角正交函數(shù)TLi(t)和TRi(t):

其中 i=0，1，2，…，m-1，h=1/m。

三角正交函數(shù)的兩個(gè)向量左三角函數(shù)TL(t)和右三角函數(shù)TR(t)為

1.1 函數(shù)近似

函數(shù)f(t)可用含有m項(xiàng)的三角正交函數(shù)序列展開為

其中

1.2 積分計(jì)算矩陣

TL(t)的積分可表示為

式中，矩陣PL和PR為積分運(yùn)算矩陣

其中，PL和PR為m×m維矩陣。TR(t)的積分計(jì)算與TL(t)相同。

f(t)的積分可表示為

由式(7)，已知C和D便可確定f(t)的近似積分值。

2 問(wèn)題描述

尋找最優(yōu)向量 U(τ)，和相應(yīng)的狀態(tài)向量X(τ)，τ ∈［0，tf］，使下面的性能指標(biāo)最小:

其中，X(τ)和U(τ)分別為l×1維和q×1維向量。向量函數(shù)F和標(biāo)量函數(shù)Si由一般的非線性函數(shù)組成并對(duì)X和U可微，tf為終端時(shí)間。并假設(shè)上述最優(yōu)控制問(wèn)題(8)～(10)存在唯一解。由于三角正交函數(shù)為定義在t∈［0，1］上的函數(shù)集合，引入時(shí)間轉(zhuǎn)換τ=tft，將式(8)～(10)轉(zhuǎn)化為

3 方法闡述

文獻(xiàn)［9］中僅應(yīng)用三角正交函數(shù)對(duì)無(wú)不等式約束的最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行了求解，本文中對(duì)含有不等式約束的問(wèn)題進(jìn)行求解。

將˙x(t)和u(t)用三角正交函數(shù)序列近似為

同樣，初始條件用三角正交函數(shù)展開為

將式(14)從0到t積分可得

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程近似

由式(14)和(15)，系統(tǒng)狀態(tài)方程可近似為

類似于式(14)，同樣可以得到

將式(14)和(17)帶入式(18)中可得

引理 1［9］CL·TL(t)+CR·TR(t)=FL·

TL(t)+FR·TR(t)，其中 CL，CR，F(xiàn)L，和 FR為 m 維系數(shù)向量，則有 CL=FL，CR=FR。

由引理1和式(20)可得

3.2 性能指標(biāo)近似

由式(15)和(17)可得

與式(19)同理，可得

式中，GL和GR為1×m維矩陣。

將式(25)代入式(11)可得

3.3 不等式約束轉(zhuǎn)化

式(13)中的不等式約束可由如下的等式約束替換［10］:

其中 zj(t)，j=1，2，…，v為輔助函數(shù)。將 z(t)用三角正交函數(shù)展開可得

其中ZLj和ZRj是m維向量，同時(shí)構(gòu)成v×m維矩陣ZL和ZR的第j行。同時(shí)可得

sj可改寫為

定義

其中 j=1，2，…，v。

將式(31)可展開為

此時(shí)式(13)中的不等式約束可轉(zhuǎn)化為一個(gè)通過(guò)求解 KLj，KRj，j=1，…，v 使如下函數(shù)值最小的問(wèn)題:

綜上，原最優(yōu)控制問(wèn)題(11)～(13)可以轉(zhuǎn)化為以下的最優(yōu)控制問(wèn)題。

計(jì)算 CL、CR、DL、Dr、ZL和 ZR，使下面的性能指標(biāo)函數(shù)值最小:

其中λ為未知的拉格朗日乘數(shù)。為計(jì)算J*的極值，求J*的偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其為零。

式(36)～(42)可用內(nèi)點(diǎn)法求解。

在求得未知系數(shù)CL，CR，DL和DR的最優(yōu)解后，將其代入式(15)和(17)便可得到新一輪迭代所需的x(t)和u(t)。將新得到的x(t)和u(t)代入式(11)～(13)中便可得到新一輪迭代所要求解的受限非線性最優(yōu)控制問(wèn)題。迭代計(jì)算重復(fù)進(jìn)行直到滿足終止條件為止。設(shè)定當(dāng)如下的條件滿足時(shí)計(jì)算終止:

算法流程如下。

步驟 1:設(shè)定 CL，CR，DL，DR，ZL和 ZR。

步驟2:時(shí)間區(qū)間由τ∈［0，tf］轉(zhuǎn)換為t∈［0，1］。

步驟3:用式(15)求帶有未知系數(shù)的控制變量。

步驟4:用式(17)求含有未知系數(shù)的狀態(tài)變量。

步驟5:用式(19)計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)方程。

步驟6:用式(26)計(jì)算性能指標(biāo)。

步驟7:用式(33)計(jì)算不等式約束。

步驟8:內(nèi)點(diǎn)法法求解最優(yōu)控制問(wèn)題(36)～(42)。

步驟9:將所求得的最優(yōu)解代入式(15)和(17)得到新一輪迭代計(jì)算所需的x(t)和u(t)。

4 算例仿真

試驗(yàn)環(huán)境為Matlab，計(jì)算芯片為酷睿2(2.4 GHz)，內(nèi)存2 G。

4.1 例1

考慮范德波爾振蕩器(Van der Pol oscillator)問(wèn)題。該例曾在文獻(xiàn)［11］中用切比雪夫法進(jìn)行求解。計(jì)算滿足約束的控制向量u(t)使如下性能指標(biāo)最小:

選取ε=1×10-7，用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行迭代計(jì)算。表1給出了本文算法所得的性能指標(biāo)和計(jì)算耗時(shí)，并與其他方法進(jìn)行了比較。圖1給出了狀態(tài)變量的計(jì)算結(jié)果，圖2為最優(yōu)控制軌跡。

表1 例1仿真結(jié)果比較Table 1 Results comparison of example 1

圖1 例1最優(yōu)狀態(tài)軌跡Fig.1 Optimal states of example 1

圖2 例1最優(yōu)控制軌跡Fig.2 Optimal control of example 1

4.2 例2

考慮來(lái)自文獻(xiàn)［12］的問(wèn)題，計(jì)算控制向量u(t)，使如下的性能指標(biāo)函數(shù)值最小:

狀態(tài)變量不等式約束為

選取ε=1×10-7，用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行迭代計(jì)算。表2給出了本文算法所得的性能指標(biāo)和計(jì)算耗時(shí)，并與其他方法進(jìn)行了比較。圖3給出了狀態(tài)變量的計(jì)算結(jié)果，圖4為最優(yōu)控制軌跡。

表2 例2仿真結(jié)果比較Table 2 Results comparison of example 2

圖3 例2最優(yōu)狀態(tài)軌跡Fig.3 Optimal states of example 2

以上兩個(gè)仿真算例表明，本算法可以應(yīng)用于求解受限最優(yōu)控制問(wèn)題。在滿足題設(shè)對(duì)控制或狀態(tài)限制的情況下，本算法可較切比雪夫多項(xiàng)式法得到更佳的性能指標(biāo)，并且計(jì)算耗時(shí)更少。這樣結(jié)果的出現(xiàn)，得益于三角正交函數(shù)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，對(duì)函數(shù)的近似性能好，這樣的特性使得三角正交函數(shù)有較快的收斂速度和對(duì)函數(shù)較好的近似性。

圖4 例2最優(yōu)控制軌跡Fig.4 Optimal control of example 2

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)帶有終端狀態(tài)約束、不等式約束的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，提出了一種基于三角正交函數(shù)的直接計(jì)算方法。該方法用系數(shù)待定的三角正交函數(shù)將控制變量和系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行展開，進(jìn)而將性能指標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)方程和不等式約束等進(jìn)行近似，從而將非線性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列代數(shù)方程進(jìn)行求解。這樣簡(jiǎn)化了求解問(wèn)題的復(fù)雜性，將原非線性受限最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，借助求解代數(shù)方程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)原最優(yōu)控制問(wèn)題的直接求解。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法求解最優(yōu)控制問(wèn)題的有效性;該算法在滿足題設(shè)限制的情況下，可得到較切比雪夫多項(xiàng)式算法更快的計(jì)算速度和更好的性能指標(biāo)，驗(yàn)證了該算法在求解此類最優(yōu)控制問(wèn)題上有較好的收斂性和計(jì)算精度。

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