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    相空間中類分數(shù)階變分問題的Noether對稱性與守恒量

    2013-04-24 07:16:13
    關(guān)鍵詞:中類相空間對稱性

    張 毅

    (蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

    分數(shù)階微積分為科學(xué)和工程的不同領(lǐng)域的大量問題提供了一個強有力的數(shù)學(xué)工具,并在數(shù)學(xué)物理,經(jīng)典和量子力學(xué),控制理論,非線性動力學(xué),信號與圖像處理,熱力學(xué),以及生物工程等領(lǐng)域取得了許多突破性的成果[1-5]。盡管分數(shù)階微積分在許多領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)確立,但是在其它一些領(lǐng)域的應(yīng)用研究還剛剛開始,分數(shù)階變分問題及其對稱性和守恒量的研究就是后者的一個例子。

    為了建立非保守動力學(xué)系統(tǒng)模型,El-Nabulsi于2005年提出了一種新的建模方法[24],即:類分數(shù)階變分方法或可稱之為El-Nabulsi分數(shù)階模型。在類分數(shù)階變分方法中,分數(shù)階時間積分僅引進一個實參數(shù)α,所得到的Euler-Lagrange方程形式簡單且類似于經(jīng)典的方程。該Euler-Lagrange方程的新穎之處在于存在一個作用在系統(tǒng)上的廣義分數(shù)階外力。尤其是在所得到的方程中不出現(xiàn)分數(shù)階導(dǎo)數(shù),而僅僅依賴于分數(shù)階積分的階α。最近,類分數(shù)階變分方法被進一步推廣到Lagrange函數(shù)依賴于Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)情形[25],多維類分數(shù)階變分問題[26],受完整約束或非完整約束或耗散動力學(xué)系統(tǒng)的類分數(shù)階變分問題[27],按指數(shù)規(guī)律變化的類分數(shù)階變分問題[28],并通過引入廣義分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子給出了普適的類分數(shù)階Euler-Lagrange方程[29]。Frederico和Torres研究了類分數(shù)階變分問題的運動常數(shù),基于El-Nabulsi分數(shù)階模型給出非保守系統(tǒng)的Noether定理[35],并推廣到Lagrange函數(shù)含有高階導(dǎo)數(shù)情形[36],但是由于文中關(guān)于Noether準對稱性的概念有誤,因此所得到的Noether定理是不正確的。

    本文在類分數(shù)階變分方法的框架下進一步研究相空間中類分數(shù)階Noether理論。通過求解相空間中類分數(shù)階變分問題,得到了類分數(shù)階Hamilton正則方程;給出了相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量變分的兩個基本公式,提出了相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換和準對稱變換的定義和判據(jù);建立了類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理,并舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

    1 類分數(shù)階變分問題

    假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標qk(k=1,2,…,n)來確定,其所受的約束是理想、完整的,系統(tǒng)的廣義動量和Hamilton函數(shù)為

    (1)

    式中L為Lagrange函數(shù)。根據(jù)El-Nabulsi提出的分類階動力學(xué)建模方法[24],相空間中類分數(shù)階變分問題可定義如下:

    求積分泛函

    (2)

    在給定邊界條件

    qk(a)=qk,a,qk(b)=qk,b(k=1,2,…,n)

    (3)

    上述變分問題可稱為相空間中類分數(shù)階變分問題,泛函(2)可稱為相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量。

    根據(jù)變分學(xué)理論,泛函(2)在qk=qk(τ),pk=pk(τ)上取得極值的必要條件是其變分等于零,即δS=0,于是有

    (4)

    由于

    (5)

    由邊界條件(3),得到

    δqk|τ=a=δqk|τ=b=0 (k=1,2,…,n)

    (6)

    利用式(5)和(6),式(4)給出

    (7)

    將式(1)的第二式兩邊對pk求偏導(dǎo)數(shù),有

    (8)

    將式(8)代入式(7),并由δqk的獨立性和積分區(qū)間的任意性,得

    (9)

    聯(lián)合方程(8)和(9),構(gòu)成類分數(shù)階Hamilton正則方程[24],即

    (10)

    我們稱由方程(10)描述的力學(xué)系統(tǒng)為類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)。如取α=1,方程(10)給出經(jīng)典的Hamilton正則方程。

    2 類分數(shù)階Noether對稱性

    引進無限小r參數(shù)有限變換群

    (11)

    或其展開式

    (k=1,2,…,n)

    (12)

    (13)

    于是有

    (14)

    (15)

    根據(jù)非等時變分Δ與等時變分δ之間的關(guān)系式[37]

    (16)

    其中F為任意可微函數(shù),可以得到

    (17)

    由式(17),式(15)可表為

    (18)

    由式(12),式(18)可進一步表為

    (19)

    式(15)和(19)是相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量變分的兩個基本公式。

    下面,我們給出相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換的定義和判據(jù)。

    定義1 如果相空間中類分數(shù)階Hamilton 作用量(2)是無限小群變換(11)的不變量,即對每一個無限小變換,始終成立

    ΔS=0

    (20)

    則稱無限小群變換為相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換。

    由定義1和公式(15),可得到如下判據(jù)1。

    判據(jù)1 對于無限小群變換(11),如果滿足條件

    (21)

    則變換是相空間中的類分數(shù)階Noether對稱變換。

    條件(21)也可表示為

    (σ=1,2,…,r)

    (22)

    當(dāng)取r=1時,式(22)可稱為相空間中的類分數(shù)階Noether等式。

    利用判據(jù)1可以判斷所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱性。

    其次,研究相空間中的類分數(shù)階Noether準對稱變換。

    設(shè)H′是另外的Hamilton函數(shù),如果變換(11)精確到一階小量滿足條件

    (23)

    則稱類分數(shù)階Hamilton作用量(2)是無限小群變換(11)下的準不變量。由此確定的H′與H具有同樣的運動微分方程,則變換稱為相空間中類分數(shù)階Noether準對稱變換。此時有

    (24)

    將式(24)代入式(23),我們有

    (25)

    式(25)中G應(yīng)為一階小量,故可用ΔG來代替G。

    于是有

    定義2 如果相空間中類分數(shù)階Hamilton作用量(2)是無限小群變換(11)的準不變量,即對每一個無限小變換,始終成立

    (26)

    則稱無限小群變換為相空間中類分數(shù)階Noether準對稱變換。

    由定義2和公式(15),可以得到如下判據(jù)2。

    判據(jù)2 對于無限小群變換(11),如果滿足條件

    (27)

    則變換是相空間中的類分數(shù)階Noether準對稱變換。

    條件(27)也可表為

    (σ=1,2,…,r)

    (28)

    其中ΔG=εσGσ.當(dāng)取r=1時,式(28)可稱為相空間中的類分數(shù)階廣義Noether等式。

    利用判據(jù)2,可以判斷所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱性。

    3 類分數(shù)階Noether對稱性導(dǎo)致的守恒量

    首先,給出類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量的定義。

    定義3 函數(shù)I(τ,q,p)稱為類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量,當(dāng)且僅當(dāng)沿著類分數(shù)階Hamilton正則方程(10)的解曲線恒成立

    (29)

    對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng),如果能找到相空間中類分數(shù)階Noether對稱變換或準對稱變換,便可求得與之相應(yīng)的守恒量。有如下定理。

    定理1 對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(10),如果無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換,則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量,形如

    (σ=1,2,…,r)

    (30)

    證明因無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換,由定義1,有

    ΔS=0

    (31)

    將式(19)代入上式,得

    (32)

    將方程(10)代入上式,由εσ的獨立性和積分區(qū)間[a,b]的任意性,得到

    (33)

    積分之,便得式(30)。證畢。

    定理2 對于類分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(10),如果無限小群變換(12)是系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱變換,則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量,形如

    (σ=1,2,…,r)

    (34)

    證明由定義2和方程(10),類似于定理1,可容易證明之。

    定理1和定理2稱為相空間中類分數(shù)階Noether定理。定理表明,如果能找到所論系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換或類分數(shù)階Noether準對稱變換,便能求出系統(tǒng)的守恒量。

    4 算 例

    例已知二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

    (35)

    試研究其類分數(shù)階Noether對稱性和守恒量。

    由式(1)知

    (36)

    類分數(shù)階廣義Noether等式(28)給出

    (37)

    方程(37)有解

    (38)

    (39)

    (40)

    由本文判據(jù),生成元(38)相應(yīng)于系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether對稱變換,生成元(39),(40)相應(yīng)于系統(tǒng)的類分數(shù)階Noether準對稱變換。由本文定理,對應(yīng)于生成元(38),(39)和(40),守恒量式(34)分別給出為

    (41)

    (42)

    I3=0

    (43)

    其中式(43)表示與式(40)對應(yīng)的無限小變換是平庸的。

    5 結(jié) 語

    利用分數(shù)階微積分進行非保守力學(xué)系統(tǒng)或耗散系統(tǒng)的動力學(xué)建模,可以解決用經(jīng)典微積分方法建立起來的模型所難以解決的問題[4, 6-7]?;贓l-Nabulsi提出的分數(shù)階模型,文章研究了相空間中的分數(shù)階變分問題,建立了分數(shù)階模型下的Hamilton正則方程。在El-Nabulsi分數(shù)階模型的框架下,將經(jīng)典的Noether對稱性理論推廣到分數(shù)階系統(tǒng),建立了相空間中的分數(shù)階Noether理論,從而在更一般意義上揭示了動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系。本文的方法和結(jié)果具有普遍意義,可進一步推廣應(yīng)用于各類約束力學(xué)系統(tǒng),并且經(jīng)典的Noether定理是本文的特例。

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