共形粘合的有界度圓填充逼近

陳德健，藍師義

(廣西民族大學理學院，廣西 南寧 530006)

圓填充是指具有特定相切模式的一種圓格局，其理論在復分析與離散幾何的交叉學科中是當今一個快速發(fā)展的研究領域。近幾年來在這個領域研究所取得的成就起源于Fields獎得主Thurston[1]在1985年提出這樣的猜測：六邊形圓填充可用來近似Riemann映射。1987年Rodin等[2]證明了該方案的收斂性。 隨后出現(xiàn)大量關于圓填充理論及其應用的研究(見文[3-6]等)。共形粘合最近重新引起人們的研究興趣，是因為它在圖像識別和弦理論研究中有著重要的應用。例如，Mumford等[7]用共形粘合作為關鍵步驟來研究圖像識別方法；Radnell[8]證明了有界Riemann曲面的擬對稱粘合可以給弦理論提供一個模型；Williams[9]用離散粘合技術構造了三角剖分曲面的共形映射。

對共形粘合的離散逼近的研究，Williams[10]已經建立了共形粘合的六邊形圓填充離散逼近。在本文，我們將Williams的結果推廣到非六邊形圓填充即有界度圓填充的情形。首先，我們討論平面內兩個不相交圓盤的共形粘合。從復平面內無限有界度圓填充的載體我們可以構造這兩個圓盤的近似區(qū)域，將組合粘合技術應用于這兩個近似區(qū)域，我們得到球面上的一個三角剖分。根據(jù)圓填充定理，就得到Riemann球面上一個相關的圓填充。由此我們可建立兩個離散近似映射。然后，證明了它們分別收斂于由一個擬對稱誘導的兩個共形粘合映，并且散粘合曲線也收斂于該擬對稱誘導的擬圓周；其次，我們研究上半平面與下半平面的共形粘合。應用兩個有限正方形區(qū)域序列分別近似上半平面與下半平面，對于每一對正方形區(qū)域，類似于前面的做法，我們可以得到它們的有界度圓填充離散近似區(qū)域，對這兩個近似區(qū)域應用組合粘合方法就得到一個拓撲圓盤的三角剖分，這就給出復平面上一個相關的圓填充?；诖耍覀兙涂梢越蓚€離散近似映射，然后推出它們的收斂性。

本文工作與文[10]的主要不同是：第一，構造離散共形粘合所使用的圓填充不同，文[10]應用六邊形圓填充即每個圓的周圍都有六個相鄰圓，而我們應用有界度圓填充，也就是每個圓的周圍不一定都有六個相鄰圓，但只要其相鄰圓的個數(shù)有界就可以； 第二，所粘合的區(qū)域不一樣，我們將文[10]所討論的單位圓盤與單位圓盤外部的離散粘合推廣到復平面內任意兩個相交圓盤的情形。本文組織如下：在第1節(jié)給出圓填充與共形粘合的基本概念及一些相關結果；在第2節(jié)討論平面兩個不相交圓盤的離散共形粘合；上半平面與下半平面的離散共形粘合在第3節(jié)討論。

1 圓填充與共形粘合

在這一節(jié)我們將簡要給出圓填充與共形粘合的基本概念及其相關結果，更詳細的背景知識，可參見文[6,11]等。

定義1 給定一個三角剖分K，我們稱復平面內一個圓集合P為關于K的圓填充， 若下面條件成立：

(i) 對于K中每個頂點u，在P中都有一個圓Cu與之對應；

(ii)若[u,v]是K的一條邊，則圓Cu與Cv外切；

(iii) 若u,v,w是K內的一個正向面，則Cu,Cv,Cw組成P中一個正向的兩兩相切的三個圓。

一個圓填充稱為單葉的， 如果它所有的圓都不重疊， 也就是沒有兩個圓相交多于一點。 一個圓填充稱為有界度圓填充，若其每個圓的相鄰圓的個數(shù)都小于或等于某個常數(shù)。用測地線連接圓填充P中所有相切圓的中心所形成的幾何復形稱為P的載體，記為carr(P)，也稱為復形K在歐式平面上的嵌入。

關于圓填充的存在唯一性，我們給出下面本文將用到的兩個結果，它們可以從文[6]得到。

命題2 一定存在復平面內無限的有界度單葉圓填充P，使得其載體填滿整個復平面，即carr(P)=。

定義2 給定兩個Jordan區(qū)域D1和D2以及它們邊界上的一個同胚映射φ:?D1→?D2， 如果等同點x∈D1與φ(x)∈D2，那么就可以把D1和D2粘合在一起。進一步，若存在兩個共形映射f:D1→Ω與g:D2→Ω*，使得在邊界上有g=f°φ，其中Ω和Ω*分別為Riemann球面S2內某一條Jordan曲線Γ的有界分支與無界分支，則稱φ為一個共形粘合。

定義3 設D和D*是復平面內的兩個圓盤，映射φ:?D*→?D是一個保向同胚映射。若一個存在常數(shù)K，使得?D*上任意具有相同長度(|I|?D*=|J|?D*)的兩個相鄰的子區(qū)間I與J，有則稱φ為一個K擬對稱映射。

定義4 設Γ1和Γ2是復平面內的兩條Jordan曲線，稱映射φ:Γ1→Γ2為一個K-雙lipschitz同胚映射，若對所有x,y∈Γ1，有

容易知道，任意一個K-雙Lipschitz映射都是一個K2-擬對稱映射。關于兩個區(qū)域的共形粘合問題，有下面著名結果，也稱為共形粘合定理，它可由文[11]得到。

命題3 (共形粘合定理) 設D,D*?是兩個不相交的圓盤，φ:?D*→?D是一個擬對稱映射，則存在兩個共形映射f:D→Ω和g:D*→Ω*，使得它們在邊界上滿足g=f°φ，這里Ω與Ω*是S2上某一條Jordan曲線的兩個分支。

本文的主要目標是應用有界度圓填充方法構造命題3中f與g的離散近似映射，并證明它們的收斂性。

2 圓盤粘合的離散近似

在這一節(jié)我們將討論兩個拓撲圓盤的離散共形粘合。也就是，我們應用有界度圓填充技術構造兩個圓盤粘合的離散近似映射，然后證明這些離散粘合映射收斂于共形粘合映射。 這分為下面三個步驟進行。

第一步，首先描述兩個三角剖分的組合粘合。設T和T*是兩個拓撲圓盤的三角剖分， 且假設它們被嵌入到復平面內，使得它們的每個三角形都是歐氏三角形。將T的邊界頂點，按逆時針記為v1,v2,…,vn，T*的邊界頂點按順時針記為w1,w2,…,wm。設φ:?T*→?T是一個K-雙lipschitz同胚映射。為了確保T*中每個邊界頂點在φ下的像都是T中某一邊界頂點，因此，我們需要對T*的每個邊界頂點ωi(i=1,2,…,m)按下面添加一個頂點

引理2 假設三角剖分T和T*的每個三角形的內角都屬于區(qū)間[α,β]，其中0<α≤β<π是兩個常數(shù)。則它們的擴張三角剖分T*和T中每個面的內角θ也屬于某區(qū)間[α*,β*]，這里0<α*≤β*<π僅依賴于α,β,K和比率C=l/l*，而l和l*分別表示T和T*中包含一個邊界頂點的邊的最大長度和最小長度。

圖1 兩個三角剖分的組合粘合 Fig.1 Combinatorial welding of two triangulations

第二步，用有界度圓填充構造兩個圓盤的離散近似區(qū)域?？紤]復平面內如命題3中兩個不相交的圓盤D與D*。根據(jù)命題2，我們知道，必存在一個填滿整個復平面的有界度無限單葉圓填充Q，不妨假設Q中每個圓的半徑不超過1/(2n)，其中n∈。設QD是包含于D內的Q的最大子圓填充，記其載體carr(QD)=Tn。令Dn表示Tn的多面體，則Dn?D為D的一個離散近似區(qū)域，如圖2所示。完全類似地，我們可以得到包含于D*內的一個三角剖分及其相應的離散近似區(qū)域并取定的一個內部頂點為w∞。容易知道，當n→∞時，

圖2 一個圓盤D的離散近似區(qū)域Dn的構造Fig.2 The construction of discrete approximating regions Dnof a disc D

(ii)對每一個n∈，fn與gn都是K1-擬共形映射，這里K1-只依賴于圓填充Q的度；

(iii)對每一個n∈，曲線Γn是K2-擬圓周，其中而K2僅依賴于常數(shù)K和圓填充Q的度。

定理1 給定復平面內兩個不相交的圓盤D和D*， 設φ:?D*→?D是一個雙Lipschitz擬對稱映射，則存在離散近似映射序列fn和gn分別在D和D*的緊子集上一致收斂于由φ誘導的共形粘合映射f和g，當n→∞時。而且當n→∞時，離散粘合曲線Γn收斂于由φ誘導的擬圓周Γ。

其次，根據(jù)引理 3 (ii)，我們知道，對于每一個n∈，fn和gn都是K1-擬共形映射。 由歐氏平面圓填充的面積長度引理[2]，用類似于文[12-13]的方法， 我們可以推出當n→∞時，fn:Dn→Ωn與分別在D與D*的緊子集內一致收斂于共形映射f:D→Ω和g:D*→Ω*。

最后， 注意到對于每個n∈， 成立同時當n→∞時， (pn)-1與分別收斂于恒等映射。因此，我們推出當n→∞時，φn一致收斂于φ。這樣在引理3(i)中令n→∞，我們就得到g=f°φ.此外，引理3(iii)給出了對于每個n∈，Γn是一個擬圓周，再根據(jù)環(huán)引理[2]，我們可以推出Γn一致收斂于某一個擬圓周Γ， 當n→∞時。 于是就完成了這個定理的證明。

如果把上面定理中的雙Lipschitz映射φ改為是一個擬對稱映射，則結論也成立。也就是以下定理。

定理2 給定復平面內兩個不相交的圓盤D和D*，設φ:?D*→?D是一個擬對稱映射，則存在離散近似映射序列fn和gn分別在D和D*的緊子集上一致收斂于由φ誘導的共形粘合映射f和g，當n→∞時。而且當n→∞時，離散粘合曲線Γn收斂于由φ誘導的擬圓周Γ。

證明 根據(jù)文[11，14]，我們知道，雙Lipschitz映射在所有擬對稱映射組成的集合中是稠密的，由此，我們推出該定理成立。

3 半平面粘合的離散近似

在這一節(jié)我們將應用有界度圓填充技術構造上半平面U與下半平面L粘合的離散近似映射，然后，證明它們的收斂性。

首先，構造離散近似映射。設φ是上的一個K-雙Lipschitz擬對稱映射使得0和∞是它的兩個不動點。對每個n∈，用a與b分別表示滿足下面條件的1/n的兩個最小倍數(shù):a≤φ(-n),φ(n)≤b。如在第3節(jié)假設Q為填滿整個復平面的無限有界度單葉圓填充且Q中每個圓的半徑小于或等于1/n。用TUn和TLn分別是包含于區(qū)域[a,b]×[0,b-a]和[-n,n]×[-2n,0]中的 carr(Q)的兩個最大子復形。將TUn中位于0和1的頂點分別記為v0和v1，且用Ln和Un分別表示TLn和TUn所形成的多面體區(qū)域。上面的條件保證了TLn∩的頂點在φ下的像位于TUn∩的邊上，應用第3節(jié)的粘合方法，通過φ我們分別TUn和TLn擴張為Un和Ln。

其次，證明離散近似映射fn和gn的收斂性。因為φ是一個保向的實同胚，所以φ在上遞增的。由此，我們得到，當n→∞時，a→-∞,b→+∞且Ln∪Un→。由假設φ是雙Lipschitz映射，而Kn是有界度的，因此fn和gn均是K1-擬共形映射，其中K1不依賴于n。同時，由構造我們推出，等式gn=fnφn在[-n,n]成立。進一步，我們有

引理4 近似映射fn和gn都能通過成為擴張的K-擬共形映射。而且，對于給定的任意緊子集E，則當n充分大時，映射fn和gn在E上都有定義。

由Un的構造我們知道，當n→∞時，Un→U。 因此，對于給定的緊子集E，當n足夠大時，Un將覆蓋為了保證fn在上有定義，下證對足夠大的n，Φn(Ln)也將覆蓋由Beurling-Ahlfors擴張的構造[16]知，當n→∞時，Φn局部一致收斂于Φ，其中Φ是φ的Beurling-Ahlfors擴張。因此，對每個i=1,2,…,Φ(Li)必包含0的一個相對開鄰域假設Ri是這樣一個開鄰域的最大半徑。則因為Φ是真映射且當n→∞時Ln→L，所以必有Ri→∞，當i→∞時。然而，由于Li是緊的，因此Φn在Li上一致收斂于Φ。于是，對每個i，一定能找到Ni∈，使得對所有n≥Ni，有特別地，對所有n≥Ni，有

?Φn(Ln)

由于每個fn都使得0和1為不動點而忽略∞，因此由文[11]我們知道，{fn}是正規(guī)族且存在一個子序列局部一致收斂于上的一個K-擬共形同胚映射f。通過重新組合，我們可假設整個序列{fn}收斂于f。因為f的定義域是整個復平面，所以Liouville’s定理給出f的值域也是整個復平面。事實上，通過令f(∞)=∞可以使∞為f的可去奇點，于是f(∪{∞})是在S2上過0,1和∞的一條Jordan曲線。

根據(jù)fn的構造和圓填充的環(huán)引理，我們推出當n→∞時，fn在U的任意緊子集上的最大伸縮商趨近于1。由此我們得到f在U上是共形的。同理，我們推出{gn}也收斂于L上的一個共形映射g。從而我們有

定理3 若給定一個雙Lipschitz擬對稱映射φ，則一定存在兩個離散近似映射序列fn和gn分別在U和L的緊子集上一致收斂于由φ誘導的共形粘合映射f和g。而且，由fn和gn的像的公共邊界形成的離散粘合曲線Γn是一個擬圓周，它一致收斂于由φ誘導的擬圓周Γ。

證明由于f和g在上是K-擬共形的，因此f(∪{∞})=g(∪{∞})是一個擬圓周。另外，注意到對每個n∈，有gn=fnφn，并且fn，gn和φn在上分別一致收斂于f，g和φ，所以我們有g(x)=fφ(x),x∈。

根據(jù)共形粘合定理的唯一性， 我們知道f|U和g|L必是對應于φ的兩個共形粘合映射。這蘊含著原來構造的兩個序列{fn} 與{gn}的收斂性。由引理4我們知道， {fn} 與{gn}都是擬共形映射，于是Γn是一個擬圓周。此外，由構造我們知道，f|L與g|U分別為粘合映射f與g通過Γ的擴張。因此由fn和gn在上的一致收斂性推出Γn也一致收斂于Γ，當n→∞時。這樣我們就完成了這個定理的證明。

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