極限存在性證明的幾種主要方法*

陸永良 ， 嵇建峰

(1.平湖市城關(guān)中學(xué), 浙江　平湖　314200；2.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江　湖州　313000)

極限是數(shù)學(xué)分析的基本概念之一,用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有其他概念，諸如：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、級數(shù)收斂性、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分等，都直接通過極限理論得以嚴密化。極限是溝通常量與變量、有限與無限的橋梁。理解極限的精確定義,掌握極限存在性證明的方法都是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的基本問題。17世紀牛頓和萊布尼茲雖然完成了微積分的創(chuàng)立工作，但由于他們對極限概念還十分模糊，所以在微積分的基本理論上存在著明顯的不嚴密性的缺陷，在邏輯上也有漏洞，以至于引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機；直到19世紀，法國的柯西和德國的維爾斯特拉斯等人的工作，給出了極限、收斂概念的精確定義，確立了以極限論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分析體系之后，才使微積分克服了邏輯上的困難，并使之建立在嚴格的理論基礎(chǔ)之上。從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準則。

眾所周知，極限在整個微積分學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科的研究中都占有舉足輕重的作用，幾乎都直接或間接與極限有關(guān)。證明極限的存在的方法很多，本文將把分散于數(shù)學(xué)分析各章節(jié)中的理論和方法較系統(tǒng)地進行歸納，并針對證明極限的存在性這個中心問題的常用解題方法進行探討。

1　極限存在性證明的幾種主要方法

極限存在性的證明是對數(shù)列極限和函數(shù)極限的存在性運用數(shù)學(xué)分析的定義和定理證明其收斂。依據(jù)不同的研究方法及所應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，已有的極限存在性證明方法可大致分為九種，我們分別概述如下。

1.1　利用極限的基本定義證明

類似地，不難給定一元函數(shù)的左極限和右極限、一元函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮大時的極限、多元函數(shù)的極限的定義。

即

證明：根據(jù)二項式定理，得到

1.2　利用單調(diào)有界數(shù)列收斂定理

定理1： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限[1]

利用單調(diào)有界數(shù)列收斂定理時，其難點有時在于單調(diào)性的證明，有時在于估計有界性，二者都常用數(shù)學(xué)歸納法。

所以，數(shù)列{xn}有界。由單調(diào)有界數(shù)列收斂定理得，數(shù)列{xn}收斂。

1.3　利用柯西收斂準則

定理2：[1](柯西收斂準則)數(shù)列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數(shù)N，當(dāng)m，n>N時，有|xm-xn|<ε

證明{xn}是發(fā)散的。

證明：根據(jù)柯西收斂準則，只須證明?ε0>0，對

?N(自然數(shù))，?m,n>N時，有|xm-xn|≥ε0，在本題中對任意正整數(shù)n，取m=2n，有：

因此，{xn}是發(fā)散的。

1.4　利用數(shù)列子列的性質(zhì)

1.5　利用海涅定理判斷極限的收斂性

1.6　利用上、下限相等

因為任何有界數(shù)列必存在有窮的上、下限，而數(shù)列收斂的充要條件又是上、下限相等[1]，所以在已知數(shù)列不具有單調(diào)性或不易估計它能否滿足柯西收斂準則的條件時，常常從上極限大于下極限或下極限不小于上極限入手來證明收斂性；或者從上、下極限不相等來證明數(shù)列發(fā)散。

1.7　利用施篤茲定理

例8：設(shè)x1∈(0,1)，xn+1=xn(1-xn)(n=1，2，3，…)，證明數(shù)列{xn}是收斂的。

故根據(jù)施篤茲定理，得：

1.8　利用構(gòu)造法

構(gòu)造一個新的便于研究的數(shù)列，把它作為橋梁來研究原數(shù)列，這也是數(shù)學(xué)上常用的方法之一。

證明：設(shè)yn=xn-1，則yn=sinyn-1(n=1,2,3,…)

因為：-1≤sinx≤1,y0=-1所以：-1≤yn=sinyn-1<0

yn-1≤sinyn-1=yn(n=1,2,3…)故{yn}單調(diào)增加且有上界，所以數(shù)列{yn}收斂。

2　結(jié)　語

由于極限理論在數(shù)學(xué)分析中占有十分重要的地位，極限存在性的證明與方法有許多種，本文概述的九種證明方法僅是主要的幾種，絕不是其全部方法。從以上方法中可以看到，只要靈活地加以綜合運用，就能有效地解決不同形式的極限存在性證明問題。

參考文獻：

[1] 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1992：29,55,43,104-105,59,81-84.

[2] 劉玉璉,楊奎元,呂鳳.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1988:38,95,46.

[3] 李心燦,宋瑞霞,唐旭暉,等.高等數(shù)學(xué)專題十二講[M].北京：化學(xué)出版社，2001:51.

[4] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第一卷第一分冊)[M]. 北京:人民教育出版社,1980:59-60.