有關(guān)圓中陰影部分的面積的幾種求法

【摘 要】求陰影部分的面積，一直是平面幾何中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文主要利用圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、分割、組合等圖形變換的轉(zhuǎn)化思想來求圓中的不規(guī)則陰影部分的面積，文中結(jié)合例題給出了幾種常見方法。

【關(guān)鍵詞】陰影面積 平移 旋轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn)化 組合

求解圓中陰影部分的面積時(shí)，陰影部分是不規(guī)則的圖形，感覺無從下手。這時(shí)候就可以考慮利用轉(zhuǎn)化的思想，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為基本問題，把難解決的問題轉(zhuǎn)化為較容易解決的問題，把新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握或較熟悉的內(nèi)容。通過對圖形的觀察，比較、分析，巧妙地利用圖形的變換把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成為我們熟悉的規(guī)則的圖形，利用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行求解。下面我們給出幾種常見的方法。

一、利用圖形的旋轉(zhuǎn)求面積

利用圖形的特點(diǎn)，將圖中某一部分圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后把陰影部分組合為一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用面積公式進(jìn)行求解。

例1.如右圖正方形邊長為2厘米，求陰影部分的面積。

分析：將右半部分上面小正方形繞著整個(gè)圖形的中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，右半部分下面的小正方形繞著整個(gè)圖形的中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)右半部分和左半部分重合后，陰影部分組成一個(gè)矩形。

所以陰影部分的面積為：1×2=2平方厘米

二、利用圖形的平移求面積

觀察圖形，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，將某一部分進(jìn)行平移，最后將陰影部分組合為規(guī)則圖形，進(jìn)而求面積。

例2.如圖，求陰影部分的面積（單位：厘米）

分析：觀察圖形的特點(diǎn)，可以把最右面的正方形平移至最左邊的正方形部分，則陰影部分組合成了一個(gè)長方形，所以陰影部分面積為：2×3=6平方厘米。

三、利用圖形的軸對稱變換求面積

根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將圖中的某一部分進(jìn)行軸對稱變換后，將陰影部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形或規(guī)則圖形的和與差，進(jìn)而求解。

例3.圖中圓的半徑為5厘米，求陰影部分的面積。（單位：厘米）

分析：以圓的直徑AB為軸將圓的上半部分翻轉(zhuǎn)下來，F(xiàn)點(diǎn)和D重合，則陰影部分的面積可以用梯形ABCE減去直角三角形ABD，或兩個(gè)小直角三角形AED、BCD面積和。

陰影部分面積為：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米

四、利用分割法求面積

對于簡單的圖形，也可以直接通過連接線段，將陰影部分分割為規(guī)則圖形的組合。

例4.如圖是一個(gè)正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點(diǎn)，Q為正方形一邊上的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。

分析：連PD、PC，將兩部分的陰影分割成了兩個(gè)三角形和兩個(gè)弓形，兩三角形面積為：△APD面積+△QPC面積=（5×10+5×5）=37.5

兩弓形PC、PD面積為：

π（5）2-5×5

陰影部分的面積為：

37.5+π-25=51.75平方厘米

五、利用等積組合求面積

有些陰影部分不好進(jìn)行圖形變換時(shí)，我們也可以考慮進(jìn)行等面積的轉(zhuǎn)換，再組合成規(guī)則的圖形求面積。

例5.如圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求陰影部分的面積。

分析：△DCE的面積為：×4×10=20平方厘米

梯形ABCD的面積為：（4+6）×4=20平方厘米，從而知

道它們面積相等，它們又有公共部分梯形BCDF，則可知△ADF面積等于△EBF面積，把△ADF面積就可以轉(zhuǎn)化為△EBF面積，所以陰影部分就可以補(bǔ)成圓ABE的面積，其面

積為：π62÷4=9π=28.26平方厘米。

以上談了求陰影部分面積的幾種方法，就是把不規(guī)則的幾何圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則的幾何圖形來求其面積。

【參考文獻(xiàn)】

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