探究讓法則教學(xué)更有效

關(guān)于如何教學(xué)數(shù)學(xué)運算法則，一直是一線教師感到苦惱、困惑的問題?！爸亟Y(jié)果輕過程”是法則教學(xué)中的普遍現(xiàn)象，大多數(shù)教師會直接給出運算公式（法則），然后讓學(xué)生通過反復(fù)訓(xùn)練來強化記憶公式。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出：運算能力這一核心概念，不僅要讓學(xué)生掌握如何計算，而且還要知道相應(yīng)的算理。在第八屆全國初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課觀摩與評比活動中，浙江省杭州市采荷中學(xué)教育集團屠旭華老師執(zhí)教的“同底數(shù)冪的乘法”這節(jié)課，很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)對數(shù)學(xué)知識教學(xué)的要求，尤其是他創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計為法則教學(xué)起到了引導(dǎo)、示范的作用。下面擷取幾個片段與大家共賞。

追根溯源，確定目標(biāo)

師：同學(xué)們，關(guān)于數(shù)的運算我們學(xué)了哪些內(nèi)容？

生：加、減、乘、除、乘方。

師：數(shù)的運算我們是怎樣學(xué)習(xí)的（學(xué)習(xí)路徑是什么）？

生：先學(xué)加減運算再學(xué)乘除然后再乘方運算。

師：好，對于整式的運算，我們已經(jīng)學(xué)過了什么運算呢？

生：整式的加減。

師：你能否類比數(shù)的運算，猜想我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)整式的哪種運算？

生：整式的乘除。

師：嗯，好的。下面有四個整式，請從中任選兩個構(gòu)造乘法運算：a2，a3，a3+ab，a+b。

回答下列兩個問題

（1）你能寫出哪些算式？（只需列式，不要求計算）

（2）試著將你寫出的算式分類，你認為整式乘法有那幾種類型？

學(xué)生自主探究，合作學(xué)習(xí)。

教師通過投影儀展示學(xué)生探究結(jié)果如下：

①a2a3，②a2（a3+ab），③a2（a+ab），④a3（a+ab），⑤a3（a3+ab），⑥（a3+ab）（a+ab）。

師：請將寫出的算式分類（寫出序號即可）。

生：分為三類①；②，③，④，⑤；⑥。整式乘法有三種類型分別是單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式。

師（總結(jié)）：對了。同學(xué)們再仔細觀察我們前面列出的6個算式，單項式乘以單項式有這樣三種類型：a2a3，（a3）2，（ab）2。形如a2a3類型的運算，稱為同底數(shù)冪的乘法。

運算法則教學(xué)的新課導(dǎo)入是教師很難把握的地方。有些教師認為，運算法則是一種規(guī)定，既然是規(guī)定就應(yīng)該直截了當(dāng)?shù)馗嬷獙W(xué)生，然后應(yīng)用；有些教師會采用實際問題情境引入的方式，這也是新課程改革以來數(shù)學(xué)課堂的普遍現(xiàn)象。注重從現(xiàn)實生活情境中引出數(shù)學(xué)問題，這種引入的方式雖加強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，但缺點是淡化了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部聯(lián)系和系統(tǒng)性，并不適用于所有數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)。法則教學(xué)就是如此，如果從實際應(yīng)用問題引入只是列出一個同底數(shù)冪的乘法算式，然后根據(jù)出現(xiàn)的算式進行法則的探究，這樣引入開門見山，卻只是就事論事，沒能使學(xué)生從整體上體會運算發(fā)展的脈絡(luò)，以及各種運算之間的關(guān)系。屠旭華老師引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運算引出整式的乘除，又通過四個整式的兩兩組合相乘，巧妙地引出整式乘法的三種類型：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式，再引導(dǎo)學(xué)生在教師的幫助下歸納出單項式乘以單項式的三種形式：同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方。經(jīng)過類比、推理、探究，歸納出本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容——同底數(shù)冪的乘法。這種數(shù)學(xué)化的引入注重數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)部聯(lián)系，問題層層遞進，引導(dǎo)學(xué)生在不知不覺中進入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)。

探究法則，感悟算理

師：請同學(xué)們運用乘方的意義計算下列各題。

（1）103×104=（ ）×（ ）____=10（ ）

（2）a3×a4=（ ）×（ ）____=a（ ）

（3）10n×10n=（ ）×（ ）_____=10（ ）

教師引導(dǎo)學(xué)生共同完成第（1）（2）小題。

（1）103×104=（10×10×10）×（10×10×10×10）=10×10×10×10×10×10×10=10（7）；

（2）a3×a4=（a×a×a）×（a×a×a×a）=a×a…a=a（7）。

師：觀察前面兩個小題的運算過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？請說出他們的共同特征。

生1：根據(jù)乘方的意義，第（1）小題是3個10的積乘以4個10的積，結(jié)果是7個10的乘積就等于10的7次方；第（2）題是3個a的積乘以4個a的積，就等于7個a的積，也就是a的7次方。

師：嗯，那第（3）小題又如何計算呢？

生2：m個10的積乘以n個10的積就等于（m+n）個10的積，就等于10的（m+n）次方。

師：通過對以上過程的觀察，你們發(fā)現(xiàn)這三個小題的運算有什么規(guī)律嗎？

生3：都一樣。他們都是同底數(shù)冪的乘法運算。同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

師：你能用一個式子表達這個規(guī)律嗎？

生（齊聲）：am×an=am+n。

師：嗯，同學(xué)們歸納得很好，上式中的m、n都為正整數(shù)。

師：回顧法則的探究過程，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

生4：從特殊到一般的過程。

師：大家讀一讀法則并思考運用法則的條件是什么？

生（齊聲）：必須是同底數(shù)的冪。

師：如果運算過程中冪的底數(shù)不相同，應(yīng)該怎么辦？

生（齊聲）：化為同底。

本教學(xué)片段的設(shè)計目的是讓學(xué)生通過探究，自己歸納出同底數(shù)冪的運算法則，感悟算理并注意法則運用的前提條件。在探究同底數(shù)冪的乘法法則這個環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計了三個小題讓學(xué)生探究，底數(shù)分別從數(shù)字到字母變化，指數(shù)從數(shù)字到字母變化，教師的設(shè)問環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，緊扣主題，為學(xué)生進一步觀察歸納做了有效鋪墊。探究過程緊緊圍繞著冪的意義和乘法法則展開，通過學(xué)生的獨立探索和與教師的交流對話，不但使學(xué)生體會到知識的形成過程，更深刻認識到同底數(shù)冪的乘法運算不是憑空產(chǎn)生的，而是在冪的意義和乘法運算的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，從而對運算發(fā)展的主線有了更清晰的認識。屠老師通過設(shè)問適時地引導(dǎo)和點撥，使得學(xué)生在探究過程中通過觀察歸納得出同底數(shù)冪的運算法則，即底不變，指數(shù)相加。不僅如此，還體會到從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納方法。通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納出法則應(yīng)用的條件，進一步滲透了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，并突出了“同底”這個條件。

探究應(yīng)用，掌握法則

教師多媒體展示以下問題：

1.【辨一辨】下列各式哪些是同底數(shù)冪的乘法？

（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7

（3）28×58 （4）a5+a5

（5）x×x5 （6）（a-b）2（a-b）3

學(xué)生小組合作探討后，回答教師的問題。

生：第（3）題底數(shù)不同，不是同底數(shù)冪的乘法。第（4）題是同底數(shù)冪的加法不是乘法。其他的都是同底數(shù)冪的乘法。

師：嗯，回答正確。同學(xué)們都注意到了同底數(shù)冪的乘法的適用條件。接下來我們來做一做。

（多媒體展示問題）

請計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示。

（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7

（3）x×x5 （4）（a-b）2（a-b）3

師：同學(xué)們，如果我把第三題變式為x×x5×x9，又該如何計算呢？

生：先算前兩個的積再和第三個相乘得到x的15次方。

師：如果我再變式為x×x5×x9×x3，又如何計算呢？

生：底數(shù)不變，指數(shù)相加。

師：對了，同底數(shù)冪的乘法法則對三個及三個以上同底數(shù)冪相乘同樣適用。

（多媒體展示問題）

2.【判一判】

下面的計算對嗎？如果不對，怎樣改正？

（1）a3×a3=2a3（2）a2×a3=a6

（3）a×a6=a6（4）78×（-7）3=711

3.【做一做】計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示。

（1）（-5）2×（-5）3×54

（2）（a-b）2（b-a）

在這個教學(xué)片段中，屠老師設(shè)計了3個教學(xué)活動：辨一辨，判一判，做一做。通過辨一辨，使學(xué)生掌握法則運用的條件是——“同底”“乘法”；通過判一判，設(shè)置這四種典型錯題，讓學(xué)生辨析，糾錯，感悟，歸納運用法則時應(yīng)注意的地方。幫助學(xué)生進一步理解掌握法則，優(yōu)化算法，體驗轉(zhuǎn)化化歸思想；通過做一做，幫助學(xué)生突破互為相反數(shù)的冪的乘法，體驗整體思想的運用，提高思維能力。

這節(jié)課圍繞探究目標(biāo)、探究法則、探究應(yīng)用三個教學(xué)環(huán)節(jié)進行設(shè)計，以探究活動為載體，在設(shè)計上注重了整體感悟知識發(fā)展的邏輯主線，結(jié)構(gòu)上層層遞進，方法上從特殊到一般；學(xué)習(xí)方法上注重類比和推理，從研究一個問題到研究一串問題，并對研究路徑有所感悟，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)由自主學(xué)習(xí)到學(xué)會學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。值得我們學(xué)習(xí)和借鑒。（作者單位：江西省教學(xué)教材研究室）

□責(zé)任編輯 周瑜芽