談柯西對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)

李曉龍

(沈陽師范大學(xué)，遼寧 沈陽 110034)

柯西，英文名字Cauchy，Augustin Louis.中文名字奧古斯丁·路易斯·柯西。1789年出生于法國巴黎，1857年逝世，享年68歲。他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動(dòng)蕩的政治漩渦中已知擔(dān)任公職。他的父親是一位精通古典文學(xué)的律師，曾任法國參議院秘書長，和拉格朗日、拉普拉斯等人交往甚密因此柯西從小就認(rèn)識(shí)了一些著名的數(shù)學(xué)家。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。

柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述方法。正如著名數(shù)學(xué)家馮·諾依曼所說：“嚴(yán)密性的統(tǒng)治地位基本上由柯西重新建立起來的。”在這方面他寫下了三部專著：《分析教程》、《無窮小計(jì)算教程》、《微分計(jì)算教程》。他的這些著作，擺脫了微積分單純的對(duì)幾何、運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，引入了嚴(yán)格的分析上的敘述和論證，從而形成了微積分的現(xiàn)代體系。在數(shù)學(xué)分析中，可以說柯西比任何人的貢獻(xiàn)都大，微積分的現(xiàn)代概念就是柯西建立起來的。有鑒于此，人們通常將柯西看作是近代微分學(xué)的奠基者。阿貝爾稱頌可惜‘是當(dāng)今懂得應(yīng)該怎樣對(duì)待數(shù)學(xué)的人’。并指出：“每一個(gè)在數(shù)學(xué)中喜歡嚴(yán)密性的人，都應(yīng)該讀柯西的杰出著作《分析教程》?！笨挛鲗⑽⒎e分嚴(yán)格化的方法雖然也利用無窮小的概念，但他改變了以前數(shù)學(xué)家所說的無窮小是固定數(shù)。而把無窮小或無窮小量簡(jiǎn)單的定義為一個(gè)以零為極限的變量。他定義了研究了行列式的理論，并得到了有名的賓內(nèi)特—柯西公式。他總結(jié)了多面體理論，證明了費(fèi)馬關(guān)于多角數(shù)的理論等等。

柯西的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)，是發(fā)展了復(fù)變函數(shù)的理論，取得了一系列重大的成果，特別是他在1814年關(guān)于復(fù)數(shù)極限的定積分的論文，開始了他作為單復(fù)變量函數(shù)理論的創(chuàng)立者和發(fā)展者的偉大業(yè)績(jī)。他還給出了復(fù)變函數(shù)的幾何概念，證明了在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有收斂圓，還給出了含有復(fù)積分限的積分概念以及參數(shù)理論等。

柯西還是探討微分方程解的存在性問題的第一個(gè)數(shù)學(xué)家，他證明了微分方程在不包含奇點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)存在著滿足給定條件的解，從而使微分方程的理論深化了。在研究微分方程的解法時(shí)，他成功提出了特征帶方法并發(fā)展了強(qiáng)函數(shù)方法。

柯西最重要和最有創(chuàng)造性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的微積分，但沒有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實(shí)定義積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。

柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析。簡(jiǎn)稱分析)以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論，柯西為此首先成功地建立了極限論。

柯西在分析方面最深刻的貢獻(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題，通常認(rèn)為是柯西提出的三種方法，即柯西—利普希茲法，逐漸逼近法和強(qiáng)級(jí)數(shù)法。實(shí)際上以前也散見到用于解的近似計(jì)算和估計(jì)?？挛鞯淖畲筘暙I(xiàn)就是看到通過計(jì)算強(qiáng)級(jí)數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程所求的解。

雖然柯西主要研究分析，但在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)。關(guān)于用到數(shù)學(xué)的其他學(xué)科，他在天文和光學(xué)方面的成果是次要的，可是他卻是數(shù)理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數(shù)學(xué)中其他光學(xué)如下：

⒈分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)了特征線的基本概念;認(rèn)識(shí)到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。

⒉幾何方面：開創(chuàng)了微分幾何，得到了把平面曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。

⒊代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣有特征值;與比內(nèi)同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡結(jié)果，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了所謂“代數(shù)要領(lǐng)”，即格拉斯曼的外代數(shù)原理。

作為一位學(xué)者，柯西思路敏捷，功績(jī)卓著。由他眾多的論著和成果，人們不難想象他的一生是怎樣孜孜不倦的工作。但柯西卻是個(gè)具有復(fù)雜性格的人。他是忠誠的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡歡的學(xué)者，尤其作為久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗，他常常忽視青年學(xué)者的創(chuàng)造。例如，由于柯西失落了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華的開創(chuàng)性論文手稿，造成群論問世晚半個(gè)世紀(jì)。

盡管很多人都在議論他的缺點(diǎn)，但我們更應(yīng)該看到他在數(shù)學(xué)發(fā)展上不可替代的地位。每當(dāng)我看到以柯西命名的定理和公式來解決問題時(shí)，每每都驚嘆于其睿智的思路。我是學(xué)數(shù)學(xué)的，這位多產(chǎn)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的執(zhí)著和其刻苦鉆研的精神正是我要學(xué)習(xí)的，在這里，我要再次像這位大數(shù)學(xué)家表示我的崇拜和敬仰之情。

[1]牛秋業(yè)，王修智.古今中外科技名人[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2007.

[2]王芝平，易南軒.數(shù)學(xué)星空中的璀璨群星[M].北京：科學(xué)出版社，2009.